吴军《信息论》硅谷面试题暗含的信息编码的有效性

硅谷的公司里有这样一道面试题：

有64瓶药，其中63瓶是无毒的，一瓶是有毒的。如果做实验的小白鼠喝了有毒的药，3天后会死掉，当然喝了其它的药，包括同时喝几种就没事。现在只剩下3天时间，请问最少需要多少只小白鼠才能试出那瓶药有毒？

很多人看了这个题目从直觉出发，直接答64只，每一只吃一种不同的药。这么做自然没有问题，但是并不有效。能不能减少老鼠数量呢？

答案是实际上解决这个问题只要六只小老鼠就可以了，这是一个64选1的题目，那么需要的信息量就是log64，也就是6比特。你要是想具体操作验证，方法是这样的：

图片发自App

将一个十进制数除以二，得到的商再除以二，以此类推，直到商等于一或零时为止，然后依照倒序取除得的余数，即换算为二进制数的结果。比如32除以2，商是16，余数是0，然后再用商16除以2，得到余数0，以此类推，得到6个余数，再倒序排列，就是100000。要点是：除二取余，倒序排列。

我们将这些药从0～63按照二进制编号，获得64个六位数的二进制编号，也就是从000000（六个零）到111111（六个一），每个二进制编号的最左边是第一位，最右边是第六位。

然后选六只老鼠从左到右排开，和二进制的六位，从左到右地依次对应。文稿里的二进制编号，你可以试着一位一位竖着看，下面每只老鼠负责一位。

从左边数第一个老鼠吃对应的二进制是1的药，0就不吃。那么老鼠1依次吃第32，33，34，……，63号药。第二只吃16，17，……，31，48，49，……，63号药，等等。最后一只老鼠吃1，3，5，……，63号药。你可能注意到了，6只老鼠都吃了63号，那是因为63对应的二进制编号是6个1，所以6只都要吃。

吃完药之后三天，某些老鼠可能死了，我们假定第1，2，6这三只老鼠死了，剩下的活着。这说明什么呢？说明编号110001号药有问题，也就是在第1，第2，第6位上分别是3个1，因为这三只老鼠都吃了它，而3，4，5这三只没死的老鼠没有吃它（对应的位置为0）。而110001对应十进制的49，也就是说第49瓶药是毒药。

对于其它的组合也是同样的，你可以自己随便假定哪几只老鼠死了，看看哪瓶是毒药。当然，还有一种情况，就是所有的老鼠都没有死，那说明第0号药是毒药，因为其他的药都吃过了，就这一瓶没有吃。

通过上述方式，可以用6只小老鼠一次完成64选1的任务。怎么确定6只老鼠就足够了呢？结合我们前面讲到的理论，64选1的任务其实只需要log64=6，也就是6比特的信息就够了，每一只老鼠提供了一比特的信息。

因此，从理论上讲6只小老鼠就足够了，而有效的编码，其实就是完成从理论上的上限到现实中解决方案的桥梁。所以IT公司在招收计算机工程师中会考这道题，因为很多的IT问题，就是编码问题。

通过一道硅谷面试题，就是让理论最佳值在应用中落地。