JZOJ6392. 【NOIP2019模拟2019.10.26】僵尸

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JZOJ6392. 【NOIP2019模拟2019.10.26】僵尸_第1张图片
T < = 5 , 1 < = n , m < = 2000 , 1 < = l i , r i , h i < = 1 e 9 T<=5,1<=n,m<=2000,1<=li,ri,hi<=1e9 T<=5,1<=n,m<=2000,1<=li,ri,hi<=1e9

Solution

  • 首先很容易想到的是求所有节点都被占领的概率,也就是方案数(最后再除以总数)。
  • 考场上的时候想到了状态 f [ x ] [ i ] f[x][i] f[x][i]表示x的子树全部被占领,从x的子树上到x节点上的最大能力的僵尸是 i i i
  • 但是难处理的是僵尸会从一个子树上去再下来到某个节点,单单是考虑x的子树中的僵尸是不行的,要考虑到所有的僵尸。
  • 所以就有了一种很巧妙的方法,将 f [ x ] [ i ] f[x][i] f[x][i]变为在整棵树上的僵尸 i i i到了x。有可能这个i不在x的子树中,但是它可以从父亲走过来,所以我们就假设它到了x,并且预先把它的贡献算出来(这是我觉得这题设的状态最巧妙并且最难懂的地方)
  • 既然已经理解了状态的话,方程就不难推了。
  • 考虑x是当前点,y是它的儿子。假设y->x的边被k这个僵尸通过的方案为 w k w_k wk,通不过的方案为 v k v_k vk
  1. f ′ [ x ] [ k ] + = f [ x ] [ k ] ∗ f [ y ] [ k ] ∗ w k f'[x][k]+=f[x][k]*f[y][k]*w_k f[x][k]+=f[x][k]f[y][k]wk,表示x或y如果有k的话,那这个k也通过(x,y)走到另一边,不用管是从下往上还是从上往下,为了让k走过去,就要有 w k w_k wk
  2. f ′ [ x ] [ k ] + = f [ x ] [ k ] ∗ ∑ t > k f [ y ] [ t ] ∗ v t f'[x][k]+=f[x][k]*\sum_{t>k}{f[y][t]}*v_t f[x][k]+=f[x][k]t>kf[y][t]vt,表示当t比k要强的时候,t不能跳到k。注意t一定在y的子树内,k一定不在y的子树内。
  3. f ′ [ x ] [ k ] + = f [ x ] [ k ] ∗ v k ∗ ∑ t < k f [ y ] [ t ] f'[x][k]+=f[x][k]*v_k*\sum_{tf[x][k]+=f[x][k]vkt<kf[y][t],即t比k弱时,k不能跳到t。t,k范围同上。
  • f[x]的初值:假设x点起始的僵尸最强的是p,那么 f [ x ] [ i ] = ( i > = p ) f[x][i]=(i>=p) f[x][i]=(i>=p),因为不管僵尸怎么走,起始的时候的最大僵尸就一定不小于p。
  • 用前缀(后缀)和优化。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 2005
#define ll long long 
#define mo 998244353
using namespace std;

int T,n,m,i,j,k,x,y,u,v,tot;
int em,e[maxn*2],nx[maxn*2],ls[maxn],L[maxn*2],R[maxn*2];
int hv[maxn][maxn];
struct zom{int s,h;} z[maxn];
int cmp(zom a,zom b){return a.h<b.h;}
ll sum,ans,f[maxn][maxn],g[maxn],s[maxn];

ll ksm(ll x,ll y){
	ll s=1;
	for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1) 
		s=s*x%mo;
	return s;
}

ll Get(int i,int k,int t){
	if (t==1) return min(max(0,z[k].h-L[i]),R[i]-L[i]+1);
	return min(max(0,R[i]-z[k].h+1),R[i]-L[i]+1);
}

void dg(int x,int p){
	int i,j,y; ll s;
	for(i=ls[x];i;i=nx[i]) if (e[i]!=p)
		dg(e[i],x);
	int tp=1;
	for(i=m;i>=1;i--) {
		f[x][i]=tp;
		if (hv[x][i]) tp=0;
	}
	for(i=ls[x];i;i=nx[i]) if (e[i]!=p){
		y=e[i];
		for(j=1;j<=m;j++) hv[x][j]|=hv[y][j];
		memcpy(g,f[x],sizeof(g));
		memset(f[x],0,sizeof(f[x]));
		for(j=1;j<=m;j++) f[x][j]+=g[j]*f[y][j]%mo*Get(i,j,1)%mo;
		for(s=0,j=m;j>=1;j--){
			if (!hv[y][j]) f[x][j]+=s*g[j]%mo;
			if (hv[y][j]) (s+=f[y][j]*Get(i,j,0)%mo)%=mo;
		}
		for(s=0,j=1;j<=m;j++) {
			if (!hv[y][j]) f[x][j]+=s*g[j]%mo*Get(i,j,0)%mo;
			if (hv[y][j]) (s+=f[y][j])%=mo;
		}
	}
	for(i=1;i<=m;i++) f[x][i]%=mo;
}

int main(){
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		em=0,memset(ls,0,sizeof(ls));
		sum=1;
		for(i=1;i<n;i++){
			scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&u,&v);
			em++; e[em]=y; nx[em]=ls[x]; ls[x]=em; L[em]=u,R[em]=v;
			em++; e[em]=x; nx[em]=ls[y]; ls[y]=em; L[em]=u,R[em]=v;
			sum=sum*(v-u+1)%mo;
		}
		for(i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&z[i].s,&z[i].h);
		sort(z+1,z+1+m,cmp);
		memset(hv,0,sizeof(hv));
		for(i=1;i<=m;i++) hv[z[i].s][i]=1;
		dg(1,0);
		for(ans=0,i=1;i<=m;i++) ans+=f[1][i];
		printf("%lld\n",((sum-ans%mo)%mo*ksm(sum,mo-2)%mo+mo)%mo);
	}
}

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