图解圆周卷积

##1.圆周卷积（circular convolution）
圆周卷积，也叫循环卷积，两个长度为N的有限场序列$x\left(n\right)$和$h\left(n\right)$的循环卷积定义为
$$y\left(n\right)=[\sum _{m=0}^{N-1}x\left(m\right)h((n-m){)}_N]R_N(n)=x_n⨂y_n$$

即循环卷积相当于周期延拓后的序列$x(n)$做周期卷积后再取主值区间，若$x(n)$和$h(n)$的离散傅里叶变换为$X(K)$和$H(K)$，则有

$$DFT[y(n)]=X(K)H(K)$$

即时域中的循环卷积对应于其离散傅里叶变换的乘积，循环卷积的结果$y(n)$长度为$N$

图解循环卷积：

记$x_1(n)=R_4(n),x_2(n)=R_4(n-2)$，求$x_1(n)$与$x_2(n)$的N=6点循环卷积$x(n)$。
$x_1(n)$与$x_2(n)$ 波形如下

先将$x_2(n)$做周期延拓（以N为周期），然后再反褶，得到$x_2((-m){)}_6{R}_6(n)$，如下图

然后再进行循环移位，注意，现在是在对一个周期N= 6 的函数移位，因为最后只取主值区间，因此只需要移位N= 6次，即只需要得到$x_2((-m){)}_6{R}_6(n)$、$x_2((1-m){)}_6{R}_6(n)$，……，$x_2((5-m){)}_6{R}_6(n)$，移位如下图

最后，将上图中的$x_1(m)$在对应点与各移位图相乘累加即得到最终结果

附上程序

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N = 6;
x1 = [1,1,1,1,0,0,0,0];
x2 = [0,0,1,1,1,1,0,0];
figure
subplot(2,1,1),stem(0:7,x1)
xlim([-2,8]),ylim([0,2])
xlabel('m'),title('x_1(m)')

subplot(2,1,2),stem(0:7,x2)
xlim([-2,8]),ylim([0,2])
xlabel('m'),title('x_2(m)')

x3 = [1,1,0,0,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0,1];
figure,
subplot(2,1,1),
stem(-8:8,x3)
xlim([-8,8]),ylim([0,2])
xlabel('m'),title('x_2(m)以N = 6为周期延拓((x_2(m)))_6')

subplot(2,1,2),
stem(-8:8,fliplr(x3))
xlim([-8,8]),ylim([0,2])
xlabel('m'),title('x_2(m)以N = 6为周期延拓 反褶((x_2(-m)))_6')


x_m = fliplr(x3);
x4 = [1,0,0,1,1,1,x_m];
figure
for i = 0:N-1
    subplot(7,1,i+1),
    stem(0:6,x4(9-i:15-i))
    xlim([-2,8]),ylim([0,1.5])
    
    ylabelString = '(x_2(%d-m))_6';
    str = sprintf(ylabelString,i);

    ylabel(str,'rotation',90,'FontSize',8);
    %xlabel('m'),title('x_2(m)以N = 6为周期延拓 反褶((x_2(-m)))_6')
end
subplot(7,1,7)
    stem(0:6,x1(1:7))
    xlim([-2,8]),ylim([0,1.5])
    
    ylabelString = '(x_2(%d-m))_6';
    str = sprintf(ylabelString,i);

    ylabel('x_1(m)','rotation',90,'FontSize',8);
    
    
x = cconv(x1,x2,6)
figure,stem(0:5,x)
xlim([-2,8]),ylim([0,5])