【数学建模算法】(25)插值与拟合：分段线性插值

1.插值多项式的震荡

用 Lagrange 插值多项式近似，虽然随着节点个数的增加，的次数变大，多数情况下误差会变小。但是增大时，的光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。理论上，当，在内并不能保证处处收敛于。Runge给出了一个有名的例子：

对于较大的，随着的增大，震荡越来越大，事实上可以证明，仅当时，才有，而在此区间外，是发散的。

高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。

2.分段线性插值

简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记做,它满足，且在每个小区间是线性函数。

可表示为

I_{n}(x)有良好的收敛性，即对于x \in[a, b]有，

有计算点的插值时，只用到左右的两个节点，计算量与节点个数 无关。但越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。

3.用Matlab实现分段线性插值

用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函数 interp1。

y=interp1(x0,y0,x,'method')
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：

method值	功能
'nearest'	最近项插值
'linear'	线性插值
'spline'	逐段3次样条插值
'cubic'	保凹凸性3次插值

所有的插值方法要求 x0 是单调的。
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格为'*nearest'、'*linear'、
'*spline'、'*cubic'。