关于最大匹配，最小点覆盖，最少路径覆盖和最大独立集的总结

最小点覆盖：

点覆盖的概念定义：
对于图G=(V,E)中的一个点覆盖是一个集合S⊆V使得每一条边至少有一个端点在S中。

最小点覆盖：就是点覆盖中点的个数最少的集合S。

最小边覆盖：

边覆盖的概念定义：
边覆盖是图的一个边子集，使该图上每一节点都与这个边子集中的一条边关联，只有含孤立点的图没有边覆盖，边覆盖也称为边覆盖集，图G的最小边覆盖就是指边数最少的覆盖，图G的最小边覆盖的边数称为G的边覆盖数。

最大匹配：

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。

最大独立集：

最大独立集：在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边的点中，m的最大值。

最小路径覆盖：

定义：在一个有向图中，找出最少的路径，使得这些路径经过了所有的点。

(1)二分图的最大匹配

匈牙利算法（可以用最大流做，但一般匈牙利要快不少）。

(2)二分图的最小点覆盖

二分图的最小点覆盖 = 二分图的最大匹配

(3)二分图的最少边覆盖

二分图的最少边覆盖 = 点数 - 二分图的最大匹配

(4)二分图的最大独立集

二分图的最大独立集 = 点数 - 二分图的最大匹配

(5)有向无环图的最少不相交路径覆盖

我们把原图中的点V拆成两个点Vx和Vy，对于原图中的边A−>B，我们在新图中连Ax−>By。

那么最少不相交路径覆盖=原图的点数-新图的最大匹配

 

(6)有向无环图的最少可相交路径覆盖

先用floyd求出原图的传递闭包， 如果a到b有路， 那么就加边a->b。 然后就转化成了最少不相交路径覆盖问题。

例题：POJ - 2594 Treasure Exploration

(7)有向无环图中最少不相交路径覆盖和最大独立集的相互转化

用偏序集，一般可以抽象为有向无环图。建议先看看这篇博客

Dilworth定理：有向无环图的最大独立集=有向无环图最少不相交路径覆盖

 

(8)二分图的带权最大匹配

KM算法。（可以用最小费用最大流做）