LG P5279 [ZJOI2019]麻将

Description

九条可怜是一个热爱打麻将的女孩子。因此她出了一道和麻将相关的题目，希望这题不会让你对麻将的热爱消失殆尽。

今天，可怜想要打麻将，但是她的朋友们都去下自走棋了，因此可怜只能自己一个人打。可怜找了一套特殊的麻将，它有$n(n\ge 5)$种不同的牌，大小分别为 $1$到 $n$，每种牌都有 $4$ 张。

定义面子为三张大小相同或者大小相邻的麻将牌，即大小形如$i,i,i(1 \le i \le n)$或者$i,i+1,i+2(1 \le i \le n-2)$。定义对子为两张大小相同的麻将牌，即大小形如$i,i(1 \le i \le n)$。

定义一个麻将牌集合 $S$ 是胡的当且仅当它的大小为 $14$ 且满足下面两个条件中的至少一个：

• $S$ 可以被划分成五个集合 $S_1$​ 至 $S_5$​ 。其中 $S_1$ 为对子，$S_2$​ 至 $S_5$​ 为面子。
• $S$ 可以被划分成七个集合 $S_1$至 $S_7$​ ，它们都是对子，且对应的大小两两不同。

举例来说，下列集合都是胡的（这儿只标记了大小）：

• {1,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,9}
• {1,1,2,2,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8}
• {1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7}

而下列集合都不是胡的：

• {1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,9}
• {1,1,1,1,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8}
• {1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,9,11}

可怜先摸出了 $13$张牌，并把剩下的$4n-13$张牌随机打乱。打乱是等概率随机的，即所有$(4n-13)!$种排列都等概率出现。

对于一个排列$P$，可怜定义 $S_i$​ 为可怜事先摸出的 $13$ 张牌加上 $P$中的前 $i$ 张牌构成的集合，定义 $P$ 的权值为最小的 $i$ 满足 $S_i$ 存在一个子集是胡的。如果你对麻将比较熟悉，不难发现 $P$ 的权值就是理论上的最早胡牌巡目数。注意到 $n\ge 5$的时候，$S_{4n-13}$总是存在胡的子集的，因此 $P$ 的权值是良定义的。

现在可怜想要训练自己的牌效，因此她希望你能先计算出 $P$ 的权值的期望是多少。

Solution

记$f[i][j][k][0/1]$为当前选到第$i$种麻将，有$j$个顺子差最后一张，有$k$个顺子差最后两张，$0/1$代表是否有对子时的面子数量

枚举新来了几张$i+1$的牌，求出加入这些牌之后的状态，作为内层DP

记$dp[i][S]$为选$i$张牌，状态为$S$的方案数，作为外层DP

DP套DP求解，最终答案为

$\sum_{i=13}^{4n} \sum_{S} \frac{dp[i][S](i-13)!(4n-i)!}{(4n-13)!}$

#include
#include
#include
#include
#include
#include

[ZJOI2019]麻将