矩阵树定理、拉普拉斯矩阵及推广证明

  图G生成树的棵树τ(G) 等于 拉普拉斯矩阵C的任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。（n-1阶主子式，就将某元素a(i,j)的那一行与列删掉，即删掉第r行和第j列后的新矩阵，用C表示。）
  拉普拉斯矩阵C=D(G)-A(G)，其中D(G)是图G的度的对角矩阵，A(G)是图G的邻接矩阵。如图G：

————————————————————————————————————————————

  该图的的度的对角矩阵为：

————————————————————————————————————————————
  该图的的邻接矩阵为：

————————————————————————————————————————————
  则该图的的拉普拉斯矩阵为：

————————————————————————————————————————————
  拉普拉斯矩阵任一n-1阶主子式的行列式的绝对值为：（取第一个元素的主子式）

  所以图G的生成树的个数为3个。

———————————————————————————————————————————
  证明：

———————————————————————————————————————————
  Kn为n阶完全图，τ为生成树个数。
  则该图的度的对角矩阵（以下为n阶）为：

———————————————————————————————————————————
  则该图的的邻接矩阵（以下为n阶）为：

———————————————————————————————————————————
  则该图的的拉普拉斯矩阵（以下全为n阶）为：

————————————————————————————————————————————
  任一n-1阶主子式的行列式（以下全为 n-1 阶）的绝对值为：（取第一个元素的主子式，前面有(-1)^(1+1)=1就省略不写了）

  证毕。