方格染色's 题解

纯粹的推公式题？？？（组合计数+概率期望）

题目链接

题目大致就是说给一个 $n\ast n$ 大小的格子上填入 $1m$ 中的 $n\ast n$ 个数（$m>n\ast n$），然后选择 $k$ 个数涂黑（可能不在棋盘上），若有 $r$ 行 $c$ 列被全部涂黑，那么就有 $2^{r+c}$ 的得分，问期望得分。

那么转化一下，$2^{r+c}$ 其实就是全涂黑的行和列的子集数目，设涂黑的行和列的集合为 $R$ 和 $C$，那么可以看出最后答案就是 ${\sum }_{R,C}{P}_{R,C}$，那么 $r=|R|$，$c=|C|$，那么可以得出 $P_{R,C}=\frac{{(}_{k-x}^{m-x})}{{(}_k^m)}$（$x=n\ast (r+c)-r-c$，即必须被涂黑的格子数），所以答案转化为了 ${\sum }_{r=0}^n{\sum }_{c=0}^n{(}_r^n){(}_c^n)\frac{{(}_{k-x}^{m-x})}{{(}_k^m)}$。

你以为这样就结束了？？？并没有。

你会发现 $m$ 过大，不可能直接用阶乘推出组合数。那么考虑下一步优化。

观察 ${(}_r^n)$ 和 ${(}_c^n)$，发现它们的下标一直为 $n$，那么可以考虑相邻项推出递推式，$\frac{{(}_x^n)}{{(}_{x-1}^n)}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\ast \frac{(x-1)!(n-x+1)!}{n!}=\frac{n-x+1}{x}$，即 ${(}_x^n)={(}_{x-1}^n)\ast \frac{n-x+1}{x}$，用 $q[x]$ 来表示 ${(}_x^n)$，边界 $q[0]=1$。

然后来考虑 $\frac{{(}_{k-x}^{m-x})}{{(}_k^m)}$，显然，它们的上下标差值不会变，它的大小只和 $x$ 的大小有关，那么可以设 $f(x)=\frac{{(}_{k-x}^{m-x})}{{(}_k^m)}$，于是有 $f(x)=\frac{(m-x)!}{(k-x)!(m-k)!}\ast \frac{k!(m-k)!}{m!}=\frac{(m-x)!k!}{(k-x)!m!}$，那么 $f(x-1)=\frac{(m-x+1)!k!}{(k-x+1)!m!}$。所以 $\frac{f(x)}{f(x-1)}=\frac{k-x+1}{m-x+1}$，即 $f(x)=f(x-1)\ast \frac{k-x+1}{m-x+1}$，用 $c[x]$ 来来表示 $f(x)$，边界 $c[0]=1$。

然后就可以得出答案了。

顺带说一句，代码一旦大于莫个数就会炸（实验证明这个数为999999999999999967336168804116691273849533185806555472917961779471295845921727862608739868455469056，我也没办法解决处于它和1e99之间的数，这部分的数只有保留整数才能输出，而且说实话我造不出来），看书上的代码明显不可能输出的，而且我特判输出那部分删掉交一遍还是过了，自己造数据的时候随机输出的基本都不会很大的（所以刻意造数据了嘻嘻嘻）。还有，那个spj我不会啊。。。（如果到时间还写不出来那就除了1e99的数全部输出6位小数啦）

OK就这样（感觉自己好难。。。）

上code：

#include
using namespace std;
const int N=300+2,M=1e5+10;
int n,m,k,ans;
double c[N],q[M],sum;
void init(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	c[0]=q[0]=1.0;
	for(int i=0;++i<=n;c[i]=c[i-1]*(n-i+1)/(1.0*i));
	for(int i=0;++i<=k;q[i]=q[i-1]*(k-i+1)/(1.0*(m-i+1)));
}
void work(){
	for(int i=-1;++i<=n;) for(int j=-1;++j<=n;
		ans=n*(i+j)-i*j,ans>k?:sum+=c[i]*c[j]*q[ans]);
}
void prin(){
	if(sum>1e99){
		cout<<1e99;
		return ;
	}
	printf("%.6lf",sum); 
}
int main(){
	init();
	work();
	prin();
	return 0;
}

感谢各位dalao聆听。

呃，更新一下，为了方便起见，oj上传的题目为超过1e99的输出-1，自行注意啦，上面的我就不改了。（CaO？貌似没改？？？）