2019金华正睿集训总结

emmm…蒟蒻第一次出来集训，也是2019年noip（现在应该叫csp的说）前最后一次外出集训…
感觉压力好大啊…毕竟才学了不到一年啊…
但不管怎样，接下来几天要好好加油啊！

DAY1

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.7.28）

主讲概率与期望。

基础概念：
（概率与期望入门必备知识）
1、随机变量：有多种可能的取值的变量
2、$P(a)$：事件$a$发⽣的概率
3、$E(x)$：随机变量$x$的期望值，$E(x)=\sum P(x=i)\ast i$
4、独⽴事件：互相不影响的事件，满⾜ $P(ab)=P(a)P(b)$
5、对于独⽴事件，我们有 $E(ab)=E(a)E(b)$
6、当 $0<x<1$ 时，${\sum }_{i=0}^{\infty }{x}^i=\frac{1}{1-x}$，${\sum }_{i=0}^n{x}^i=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$
7、期望的线性性：$E(x+y)=E(x)+E(y)$

常用技巧：
（介绍前缀和这一技巧）
1、对于离散变量$x$，$P(x=k)=P(x<=k)-P(x<=k-1)$
2、有$n$个随机变量$x[1\dots n]$，每个随机变量都是从$1\dots s$中随机⼀个整数，求$max(x[1\dots n])$的期望
3、概率为$p$的事件期望$1/p$次后发⽣
emmm…
今天的话听课感觉还好，基本能听懂和理解但可能实际使用会emmm…毕竟我发现我代码能力有点菜。
所以还是在课后好好敲一下看吧。
然后…

老师推荐的神题？？？：
经典拿球问题和游走问题，嗯，帮助理解了一下，结果变式依然那么…
接下来又是经（mo）典（gui）的10个例题…
1、每次随机⼀个 $[1,n]$ 的整数，问期望⼏次能凑⻬所有数
2、随机⼀个⻓度为 $n$ 个排列 $p$，求 $p[1\dots i]$ 中 $p[i]$ 是最⼤的数的概率
3、问满⾜上⾯那个题的 $i$ 的个数的平⽅的期望
4、随机⼀个⻓度为 $n$ 的排列 $p$，求 $i$ 在 $j$ 的后⾯的概率
5、随机⼀个⻓度为 $n$ 的排列 $p$，求它包含 $w[1\dots m]$ 作为⼦序列/连续⼦序列的概率
6、有 $n$ 堆⽯头，第 $i$ 堆个数为 $a[i]$，每次随机选⼀个⽯头然后把那⼀整堆都扔了，求第 $1$ 堆⽯头期望第⼏次被扔
7、随机⼀个⻓度为 $n$ 的01串，每个位置是 $1$ 的概率是 $p$ ，定义 $x$ 是每段连续的 $1$ 的⻓度的平⽅之和，求$E(x)$
8、给⼀个序列，每次随机删除⼀个元素，问 $i$ 和 $j$ 在过程中相邻的概率
9、给定⼀棵树，将他的边随机⼀个顺序后依次插⼊，求 $u,v$ 期望什么时候连通
10、给 $1\dots n$ 这 $n$ 个数，每次随机选择⼀个还在的数并且删掉他的所有约数，求期望⼏次删完

还有鬼畜期望线性性练习题？？？：
1、给定 $n$ 个硬币，第 $i$ 个硬币的价值为 $w[i]$，每次随机取⾛一个硬币，获得的收益是左右两个硬币的价值的乘积，求期望总价值
2、有 $n$ 个数 $a[1\dots n]$，每次等概率选出两个数，然后合并成一个新的数放回来，得到的收益是新的数的值，求总收益的期望
3、给定一个数列列 $w[1\dots n]$，随机一个排列列 $h$，如果 $h[i]$ ⽐比 $h[i-1]$ 和 $h[i+1]$ 都大，就获得 $w[i]$ 的收益，求期望收益
4、给出一棵树，一开始每个点都是白的，每次选一个白点将他子树里所有点染黑，求期望几次染黑整个树
5、有 $n$ 个⿊黑球，$m$ 个⽩白球，每次等概率取出一个球（不放回），将取出来的球的颜⾊色写成一个01序列列，求 ”01” 的期望出现次数

嗯，听的有点绕，要好好消化。。。
另外地方要找题多做啊。

DAY2

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.7.29）

emmm…本来准备昨天讲的分治被拖到了今天。

简单介绍一下：
分治即分而治之，是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

比较普通的分治：
1、求所有区间的最大值之和
2、求所有区间的最大值乘最小值之和
3、求所有区间的gcd之和
4、求二维平面上最近点对
5、分治多项式乘法
（这些都可以通过将区间分成两个区间，来将问题分成两个⼦子问题）

介绍下二分：
二分其实是对答案进行分治，是分数规划问题。
（可以去了解一下整体二分）

CDQ分治：
把 $[l,r]$ 分成 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$，考虑左边对右边的贡献。
题目有三维偏序，矩阵加，矩阵求和，缺1背包问题，缺点最短路问题，解地推式 $f[n]=\sum f[i]\ast g[n-i]$

点分治：
基于树上的节点进行分治，本质其实是将一棵树拆分成许多棵子树处理，并不断进行，点分治是处理树上路径的一个极好的工具，一般如果需要大规模处理树上路径，点分治是一个不错的选择。

时间分治：
加边删边询问两点是否连通

然后讲图论惹。

这个不详细说了，多找找题目做吧，特别注意Tarjan，圈套圈，最短路变式，二分图，Hall定理应用，判断偶环。

一些基础术语：
出度，入度，度数，无向图，有向图，欧拉回路，哈密尔顿回路，环，简单环，连通块，强连通块，点双连通分量，边双连通分量，深度优先搜索（dfs），广度优先搜索（bfs）

一些基本算法：
Dijkstra，Bellman-Ford，SPFA（以及卡掉它的办法），Floyd 算法，Tarjan，圈套圈

一些题目类型：
判断负环，差分约束，次短路，最短路变式，求桥，求强联通分量，数环，欧拉回路，最小生成树，Prufer序列，二分图，Hall定理应用

接下来是字符串。

字符串不是很好，还需要多思考一下。

Hash：
比较两个字符串是否相等

KMP（还有AC自动机）：
求两字符串最长的相等前后缀或一个串的最小循环节

后缀数组：
用来求最长重复子串，不可重叠最长重复子串，本质不同的子串个数，求 S[l…r] 的出现次数，高度总结一个公式 $lcp(x,y)=min(h[p[x]]...h[p[y]-1])$，然后我这块挂了。

后缀自动机：
有个后缀树需要了解，这块也挂了，不介绍过多了。。。

DAY3

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.7.30）

组合计数。

介绍容斥原理：
列出题目中的 $n$ 个条件，求满足这 $n$ 个条件中每一个的方案的个数
枚举这些条件的所有 $2^n$ 个集合，考虑一个集合 $p$，令不满足 $p$ 中所有条件的方案有 $a$ 个，如果 $p$的大小是奇数，给答案减去 $a$，不然给答案加上 $a$

欧拉函数：
求 $[1,n]$ 之间与 $n$ 互质的数的个数
枚举每个因子放与不放

说一下补集思想：
正难则反，满足条件的=全部的-不满足条件的

连通图的数量：
连通图的数量=图的总数-不连通图的数量，而不连通数量可以计算。
欧拉图的数量也能用相同的方法计算。

线性性：
一般在求期望中使用的 $E(x+y)=E(x)+E(y)$ 在组合计数时也可以用，具体考虑每个元素对答案的贡献

Burnside引理：
$x$ 在置换 $G$ 作用下的轨道等于每个置换群下不动元素的和除掉 $G$ 的大小

之后就在讲杂题惹

DAY4

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.7.31）

上午三个人一组ACM

呃，5个小时11道题我们只过了5题，真的是太菜了呀。要知道都有人ak了呀！！！（不过听说这是正睿史上第一次ACM赛有人ak。。。）
开场1,2两题想的太复杂老半天没做出来。后面抱着侥幸心理试一下暴力，然后过了。。。
之后我开始弄我jio得可能可以的题（真香），另外两个队友在讨论另外一道，结果看的两道题我都无法实现，叫队友帮忙，结果尝试还是过不了，索性切了题。然后我过了一道，队友过了一道，又回来看之前两道中的一道，搞了半天过了。然后一看时间不够了，索性弃疗吃饭去吧。

下午讲解

听了1，2题，才明白其实这就是正解。
听老师说自己预期的签到题没什么人过，明明很难好吧。。。
另外基本也听懂了，就是赛后要好好消化一下啊。
然后，果然队员还是很有用很重要的啊，虽然这次真的不怎么好（49个队，35名），不过重在参与吧。
要加油啊。

DAY5

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.1）

初次接触网络流

介绍下定义：
一个网络流 $G=(V,E)$ 为一张满足一下条件的有向图：
1、每一条边有一个非负容量，即对于任意 $E$ 中的 $(u,v)$，有 $c(u,v)>=0$
2、如果 $G$ 中存在边 $(u,v)$，那么不存在 $(v,u)$。我们将图中不存在的边的容量定为0
3、图中含有两个特殊节点（源 $s$ 和汇 $t$）
一个流可看作是从 $V\ast V$ 到 $R$ 的映射，满足下面两条性质：
1、容量限制：对于任意的 $u,v$，$0<=f(u,v)<=c(u,v)$
2、流量守恒：对于任何非源汇的中间节点 $u$，满足 ${\sum }_{v\in V}f(v,u)={\sum }_{v\in V}f(u,v)$

最大流问题：
找出一个满足上述条件的 $f$，使得 ${\sum }_{v\in V}f(s,v)$ 被最大化，一个流 $|f|$ 定义为 $|f|={\sum }_{v\in V}f(s,v)-{\sum }_{v\in V}f(v,s)$（由于在 $G$ 图中不存在反向边，因而在上面的讨论中只需要最大化前半部分）
拓展带反向边的最大流问题和多源汇最大流问题

建模：
1、是否存在从s到t的可经过相同节点不经过相同边的两条路径？
2、是否存在从s到t的不可经过除s、t外相同节点的两条路径？
3、是否存在从s到t的不可经过除s、t外相同节点和相同边的两条路径？
点容量解决方法：拆点，将容量限制转化到边上

最大流的基本想法：
残量网络：
1、对于网络G，其残量网络G_f与G的差别在于每条边的边容量修改为G中边容 量减去当前流的该边流量。具体来说，$c_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$
2、另外，残量网络中还包含原图中所有边的反向边，容量等同于正向边在f中 当前流量，用于“反悔”时将流送回起点： $c_f(v,u)=f(u,v)$
增广：
令 $f^{\prime }$ 为残量网络 $G_f$ 上的一个流 $(f\uparrow f^{\prime })(u,v)=(u,v)\in E?f(u,v)+f^{\prime }(u,v)-f(v,u):0$
引理1：
增广后的网络的流量等于两个流流量直接相加
因为这是流（那条性质）而且流量相同，所以 $|f\uparrow f^{\prime }|=|f|+|f^{\prime }|$
增广路：
1、残量网络当中 $s$ 到 $t$ 的一条简单路径
2、增广路 $p$ 的流量定义为 $c_f(p)=min(u,v):(u,v)\in p$
3、若是将 $p$ 上的每条边的流量均赋为 $c_f(p)$，所形成的依然是满足条件的原图的一个流
结论1：
增广后流量增加，即令 $f_p$ 为当前流f的残量网络中找到的一增广路，则 $|f\uparrow f_p|=|f|+|f_p|>|f|$
割：
为一个对于点集 $V$ 的划分，将 $V$ 划分为两个集合 $S$ 与 $T$，其中源点 $s$ 在 $S$ 中，汇点 $t$ 在 $T$ 中。对于一个流 $f$ 而言，割 $(S,T)$ 间的网络流定义为 $f(S,T)={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(u,v)-{\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(v,u)$
割 $(S,T)$ 的容量定义为 $c(S,T)={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}c(u,v)$
对一个网络而言，最小割为所有的割当中容量最小的那个
引理2：
由流量守恒导出，对于任意流 $f$，任意割之间的网络流量不变，即 $f(S,T)=|f|$
结论2：
$|f|=f(S,T)={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(u,v)-{\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(v,u)<={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(u,v)<={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}c(u,v)=c(S,T)$
任意流f的流量不超过任意割的容量，即 $|f|<=c(S,T)$
最大流最小割定理：
对于一个网络 $G$，下面三个命题总是等价：
1、流 $f$ 是 $G$ 的最大流
2、当前流 $f$ 的残留网络 $G_f$ 上不存在增广路
3、存在某个割使得 $|f|=c(S,T)$，它即是最小割
证明自己搜一下吧，我也没太懂

Ford-Fulkerson算法：
Ford-Fulkerson (G,s,t）{
	for each edge (u,v) ∈ G,E
		(u,v).f=0
	while there exists a path p from s to t in the residual network G_f{
		c_f(p)=min{c_f(u,v):(u,v) ∈ p}
		for each edge (u,v) ∈ p
			if (u,v) ∈ E
				(u,v).f+=c_f(p)
			else
				(u,v).f-=c_f(p)
	}
}

Edmonds-Karp算法:
在EF的基础上，将增广路的过程优化为每次寻最短增广路的过程，其中路径长度定义为从 $s$ 到 $t$ 需要经过的边条数
引理3：
在EK中，令 $d(u)$ 表示残量单位网络上从 $s$ 到 $u$ 的最短路距离，那么对于 $V_s$ 中的任意 $u$，在每次增广后 $d(u)$ 不降
定理：
在EK算法中，增广的次数是 $O(VE)$，所以复杂度为 $O(V{E}^2)$
证明这里不给了

Dinic算法:
在EK的基础上，将每次寻找一条增广路优化为每次计算出一 个增广网络
在残量网络中，若两个端点间的最短路恰好差1，就称之为可行边，由所有可行边构成的图（最短路图），称为可行网络，在可行网络上的无法再扩充流量的流，称为阻塞流，注意不必是残量网络的 最大流，增广完一个阻塞流后，$d(t)$必增，因而最多增广$O(V)$次，增广单次的实现和时间复杂度:
1、一个节点的dfs至多被调用O(E)次。
2、for循环外部的时间复杂度之和为 $O(VE)$
3、for循环执行次数可分为只经过一次的和经过多次的
4、经过一次的复杂度之和为 $O(E)$
5、经过多次的次数之和为 $O(VE)$。
6、因此加了左边所有优化的dinic总复杂度为 $O(V^{2}E)$
（贴一下代码）

int dfs(int x,int sum)
{
	if(x==t||!sum) return sum;
	int res=0;
	for(int i=head[p];i;i=next[i])
	{
		int y=ver[i];
		head[x]=i;
		if(d[y]==d[x]+1&&w[i])
		{
			int tmp=dfs(v,min(sum-res,w[i])sd);
			res++tmp;
			w[i]-=tmp,w[rec[i]]+=tmp;
		}
		if(res==sum) return res;
	}
	if(!res) d[x]=-1;
	return res;
}

代码就是按某种顺序找增广路，一旦找到直接增广
（可以使用动态树优化找阻塞流并增广的过程，迭代次数不变，因而可以达到 O(VElogV)的复杂度）
阅读材料：
1、https://www.arl.wustl.edu/~jst/cse/542/text/sec19.pdf
2、http://courses.csail.mit.edu/6.854/16/Notes/n10-blocking_flows.html
单位容量网络指所有的存在的边容量均为1的网络
引理4：
dinic在单位容量网络中至多增广 $O(min(E^{\frac{1}{2}},V^{\frac{2}{3}}))$ 次
结论3：dinic在单位容量网络中寻找阻塞流可达O(E)复杂度
因此，在单位容量网络当中，dinic的时间复杂度可达 $O(Emin(E^{\frac{1}{2}},V^{\frac{2}{3}}))$
单位网络指对于 $V_{s,t}$ 中的任意一节点，都满足下面两条之一
1、仅存在一条单位容量的入边
2、仅存在一条单位容量的出边
结论4:dinic在单位网络中效率可达 $O(V^{\frac{1}{2}}E)$ （跑二分图用）
例子：
最大权闭合子图（介绍略，自行再了解趴）
（证明再略，实在太多了，有空再加）

DAY6

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.2）

上午动态规划讲题

总结起来，灰常懵逼，找题目去练吧，没什么好多说的

下午树上数据结构

总结起来，还是灰常懵逼，我天这什么题有点崩溃啊。

DAY7

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.3）

数论专场

质因子分解：
素性测试：
试除法：
一种配合质数筛法可以做到 $O(\sqrt{n})$ 的复杂度。 Miller-Rabin 素性测试:
可以做到 O(logn) 的复杂度，属于 RP 算法。
基本原理是费马小定理，于是对于某个 p，若能找到与它互质的 a 使得 $a^{p-1}\ne 1(modp)$，则 $p$ 必不是质数。 然而有一些合数 $p$，满足所有与它互质的 $a$ 都有 $a^{p-1}\equiv 1$ (mod $p$)，这种数称为Carmichael 数（如 561=3∗11∗17），这样的数是用上面的方法检验不出来的。 所以还需要奇素数判定。对于奇素数 $p$，如果 $a^{p-1}\equiv 1$ (mod $p$) 即 $(a^{\frac{p-1}{2}}+1)(a^{\frac{p-1}{2}}-1)\equiv 0$ (mod $p$)，由于 $F_p$ 是整环， 所以 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1$ 或 $p-1$。如果 $\frac{p-1}{2}$ 还是偶数则可以继续往下检验…用原根的一些理论可以证明这样就能保证对于任意合数至少 存在一个 $a$ 可以判定它是合数。
其它还有印度人的AKS算法:
可以做到正确率 100% 的 O(logn) 复杂度。
但绝大多数情况 Miller-Rabin 都够优秀了。
质因子分解的方法：
试除法：
复杂度为 $O(\sqrt{n})$，太慢。。。
Pollard’s Rho（又名启发式分解）：
期望复杂度 $O(\sqrt[4]{n}logn)$，$n$ 是素数的时候用Miller-Rabin素性测试，不是素数的时候，复杂度只和最小的质因子有关，所以称为启发式
假如要分解一个数 $n$，首先进行素性测试，是素数直接返回。 否则就要生成一些随机的 $x[i]$，去求 $gcd(|x[i]-x[j]|,n)$，如果它 $\in (1,n)$ 则找到了 $n$ 的一个因子，递归分解。 一个挺靠谱的随机方法就是 $x\leftarrow x^2+c$，$c$ 是个随机数。 这样随机出来的 $x$ 可能会进入循环，假如进入循环了我们还没找到因子，就重新随个 $x$ 和 $c$，重新做，可以证明 $x\leftarrow x^2+c$，形成的一定是一个 $\rho$ 形结构。 每次当 $i$ 为 $2$ 的幂次的时候就令 $y\leftarrow x[i]$，如果某时刻 $x[i]=y$ 了则说明已经在环上绕了一圈了，这样“浪费”的步数仅仅是 $O(环长)$ 级别的。

数论：
欧几里德算法：
若 $x|a,x|b$，则 $x|(a+b)$，于是 $gcd(a,b)=gcd(b,a$%$b)$
扩展欧几里德：
已知 $a,b$，求出 $x,y$ 满足 $a\ast x+b\ast y=gcd(a,b)$，在欧几里德算法中递归地求，若已有 $b=0$，则 $gcd=a$，令 $x=1,y=0$，否则求出 $x\prime ,y\prime$ 满足 $bx\prime +(a-a/b\ast b)\ast y\prime =gcd(b,a$%$b)=gcd(a,b)$。 于是 $a\ast y\prime +b\ast (x\prime -a/b\ast y\prime )=gcd(a,b)$。
辗转相减（除）的其他用法：
只要一个环定义了带余除法，就可以在上面辗转相减（除），比如模合数的环、多项式环等等。比如求行列式模一个合数，根据行列式的性质可以把一行的倍数加到另一行上。辗转相减把其中一个位置消成0即可。比如求两个多项式的最大公约式，或者说多项式取模，可以不停地把一个的倍数加到另一个上，把其中一个多项式变成0。
类欧几里德：
$solve(n,A,B,C)={\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{A[i]+B}{C}\rfloor$，如果 $A>=C$，$ans+=n(n+1{)}^2\ast (A/C)$，然后 $A$%$=C$，如果 $|B|>=C$，讨论下正负号算下，然后把 $B$ 搞到 $[0,C)$ 之间，设 $m=\lfloor \frac{A[n]+B}{C}\rfloor$，则要算 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m[C[j]<=A[i]+B]$，即 $nm-{\sum }_{j=1}^m{\sum }_{i=1}^n[A[i]<=C[j]-B-1]$，即 $nm-solve(m,C,-B-1,A)$。每次 $A$ 对 $C$ 取模后互换位置，复杂度同欧几里德算法，为 $O(logC)$
（还有些需要补的）

DAY8

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.4）

第一题有些东西没考虑写挂了，0分。

第二题准备暴力拿分，于是就把暴力分拿完了，42分。

第三题做的时候心态爆炸，然后全部输出0，于是，0分。

总的42分，感觉其实第一题还是可以拿分的，就是自己没考虑完整，emmm。另外，这果然不是闹着玩的，不小心就要爆0掉rating什么的（虽然这次没有掉），今后要加油啊！

DAY9

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.5）

T1，T2打暴力打炸，T3打表都打炸了。

于是爆零，我自闭了。。。

DAY10

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.6）

三题全部敲了暴力代码（最暴力的），然后由于最后一题特判比别人多输出了一些东西，然后，运气爆发多过了一个点，于是超了好多人。

30、20、20，但分数还是不够啊，还要继续加油呢。

DAY11

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.7）

祝各位dalao七夕快乐！！！

跑题了跑题了…

T1挺简单的，但由于我太菜了，然后写炸爆0

T2暴力20分（本来想搞搞看70分的。。。）

T3有点难，40分挺满足了。。。

所以一共60分，还是低呀，要加油呢。

DAY12

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.8）

又是愉快的看ioiDAY2直播的一天

所以还是先说考试的事吧

T1、T2都不算难，但我又写炸，对自己感到绝望。。。

T3第一次做提答题，第二个点没更新到于是少了5分，得了33分emmm…

总共63分，但我又掉rating了，诶。。。

DAY13

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.9）

莫比乌斯反演

积性函数：
对于 $(a,b)=1,f(ab)=f(a)f(b)$，那么 $f(x)$ 为积性函数，欧拉函数就是积性函数，另外还有 $d(x)={\sum }_{a|x}1,\sigma (x)={\sum }_{a|x}a,id(x)=x,l(x)=1,e(x)=1=>x=1$

狄利克雷卷积：
两个数论函数 $f(x),g(x)$，令 $h=f\ast g$，那么 $h(x)={\sum }_{a|x}f(a)g(\frac{x}{a})$，易证满足交换律和结合律，两积性函数的卷积还是积性函数，$f\ast e=f$，注意，卷积不一定要求两个函数都是积性函数

莫比乌斯函数：
如果 $F(n)={\sum }_{d|n}f(n)$，那么$f(n){\sum }_{d|n}\mu (d)\ast F(\frac{n}{d})$，$F=f\ast l=>F\ast \mu =(f\ast l)\ast \mu =f\ast (l\ast \mu )=f\ast e=f$，不要求 $f$ 为积性函数

筛法：
时间复杂度为 $O(n\ast log(log(n)))$

线性筛法：

void xxsf(){
	v[1]=1;
	p[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
	if(!p[i]){
		p[i]=i;
		s[++ans]=i;
		v[i]=-1;
	}
	for(int j=1;j<=ans&&s[j*i]<=n;++j){
		p[s[j]*i]=s[j];
		if(p[i]==s[j]) break;
		else           v[s[j]*i]=-v[i];
	}
}

思想是保证每个合数只被他最小的素因子访问到，时间复杂度为 $O(n)$，但自带大常数，可以求出一个积性函数的值

另外的不多说了，看pdf。

下午的时候听了一下模拟赛的讲解

感觉还好。

DAY14

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.10）

t1暴力写炸

t2打表过了40分

t3根本不会

然后只有40分，感觉真的太菜了啊，被人家完虐啊。。。

DAY15

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.11）

t1纯暴力10分

t2不会

t3没时间看

总计10分，我我我又被完虐了。。。

DAY16

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.12）

我自闭了，所以去c班听dp。。。

斯特林数：
第一类：
$n$ 个数的排列中有 $k$ 个“环”的方案数，$n$ 个人分配到 $k$ 个圆桌上，圆桌旋转相等的方案数，即只关心每个人左边的人是谁，$s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)\ast s(n-1,k)$
第二类：
$n$ 个数分成 $k$ 个集合的方案数，集合不可区分，$s(n-k)=s(n-1,k-1)+k\ast s(n-1,k)$

欧拉数：
$n$ 个数的排列，其中有 $k$ 个满足 $p[i]<p[i+1]$ 的排列个数，$e(n,k)=(k+1)+e(n-1,k)+(n-k)\ast e(n-1,k-1)$

数位dp：
对十进制数或二进制数的某个统计，可能需要记录当前在第几位，上一个数字是什么，和题目有关的一些信息，当前位是否和限制相等，如果是多个整数，可能需要记录进位，错位等，当然还要注意前导零的问题

DAY17

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.13）

t1思考了一会，把特判全弄出来了，然后100分

t2调了好久还是炸了，0分

t3没时间写了，只敲了一个基本暴力，20分

总计120分，没有到预期成绩，策略不行啊。。。

下午有点懵逼。。。

DAY18

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.14）

背包dp：
$n$ 个物品，每个物品有重量 $w[i]$，求选出重量和不超过 $s$ 物品集合的方案数，经典的有01背包（每个物品最多选一次），无限背包（每个物品可以选无数次），多重背包（每个物品最多选 $k[i]$ 个），进阶问题看pdf吧

树形dp：
求直径，求每个点到其他点的距离之和，求每个点到其他点的最长路径，求树上一个点权和最大的独立集，求树上有几个大小不超过 $k$ 的独立集

区间dp：
看一下pdf就好吗，全是经典题目

状压dp：
同上吧。。。

另外一些奇怪的、比较难的题目自己搜一下吧

DAY19

仅自己用的链接（file:///C:/Users/Belief、御风/Desktop/19.8.15）

向我们传授了一下经验。

感觉这几天效果挺不错的，但还有很多坑，还要好好消化。

好好吸收经验，今后要加油哦！

结束了呢。。。