BZOJ P4033 LOJ 2124 [HAOI2015] 树上染色【树形DP+背包】

题目分析（以下的 M M 都是题目当中输入的 K K ）：

树形 DP D P （好吧这是废话）。我们按照树形 DP D P 的套路（啥？你不知道树形DP的套路？）很容易得出这道题的状态设定：

DP[I][J] D P [ I ] [ J ] 表示以 I I 为根的子树当中涂了 J J 个黑点的最大收益 J<=M J <= M

那么问题来了，我们应该如何进行状态转移，关键点在于应该如何处理状态转移时发生的收益变化？

让我们来考虑这样一个问题：

树上一条边 Edge（X，Y） E d g e （ X ， Y ） ，不妨设 X X 为 Y Y 的父亲节点，我们假设不在以 X X 为根的子树外（包括 X X 点）一共有 P P 个黑点，那么在以 X X 为根的子树内也就是 Y Y 内（不包括 X X 点，包括 Y Y 点）一共有 M−P M − P 个黑点。关键点来了，根据乘法原理所有的黑点连边那么一共有 P∗(M−P) P ∗ ( M − P ) 条边，这 P∗(K−P) P ∗ ( K − P ) 条边都经过同一条边 X−>Y X − > Y ，白点同此。这样我们就将需要计算的距离转化为了某一条边的计算，这样就方便了我们的转移。

于是就可以得到下面的状态转移方程了（其实是一个树上背包的过程）：

Size[X] S i z e [ X ] 表示以 X X 为根节点的子树的大小，

DP[X][J]=maxDP[X][J]，DP[X][J−K]+DP[Y][K]+K∗(J−K)∗(X−>Y)+(Size[Y]−K)∗(N−M−Size[Y]+K)∗(X−>Y) D P [ X ] [ J ] = m a x D P [ X ] [ J ] ， D P [ X ] [ J − K ] + D P [ Y ] [ K ] + K ∗ ( J − K ) ∗ ( X − > Y ) + ( S i z e [ Y ] − K ) ∗ ( N − M − S i z e [ Y ] + K ) ∗ ( X − > Y )

由于在这棵树当中哪一个点是根节点都是相对的，为了方便讨论与写代码，都以 1 1 号点为根节点，所以最后的答案为 DP[1][M] D P [ 1 ] [ M ] 。

另，这道题似乎卡时，大家就不要在不必要的地方开 long long l o n g   l o n g 了

于是现在代码就很好写啦，关键代码：

void Tree_DP(int X,int Fx){
    int I,J,K;Size[X]=1;
    for(I=Head[X];I;I=Next[I]){
        int Y=To[I];
        if(Y!=Fx){
            Tree_DP(Y,X);
            Size[X]+=Size[Y];
        }
    }
    for(I=0;I<=Size[X];I++){
        DP[X][I]=-1ll;
    }DP[X][0]=DP[X][1]=0ll;
    for(I=Head[X];I;I=Next[I]){
        int Y=To[I];LL Z=Edge[I];
        if(Y!=Fx){
            int NumX=min(M,Size[X]);
            for(J=NumX;J>=0;J--){
                int NumY=min(J,Size[Y]);
                for(K=0;K<=min(NumY,J);K++){
                    if(DP[X][J-K]!=-1ll){
                        DP[X][J]=max(DP[X][J],DP[X][J-K]+DP[Y][K]+(LL)K*(M-K)*Z+(LL)(Size[Y]-K)*(N-M-Size[Y]+K)*Z);
                    }
                }
            }
        }
    }
}