n皇后问题

问题描述：八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

我们可以通过下面的图标来展示回溯法的过程
从而更加有助于我们的理解

我们在试探的过程中，皇后的放置需要检查他的位置是否和已经放置好的皇后发生冲突，为此需要以及检查函数来检查当前要放置皇后的位置，是不是和其他已经放置的皇后发生冲突

假设有两个皇后被放置在（i，j）和（k，l）的位置上，明显，当且仅当|i-k|=|j-l| 时，两个皇后才在同一条对角线上。

（1）先从首位开始检查，如果不能放置，接着检查该行第二个位置，依次检查下去，直到在该行找到一个可以放置一个皇后的地方，然后保存当前状态，转到下一行重复上述方法的检索。
（2）如果检查了该行所有的位置均不能放置一个皇后，说明上一行皇后放置的位置无法让所有的皇后找到自己合适的位置，因此就要回溯到上一行，重新检查该皇后位置后面的位置。

int PLACE(int n) /* 检查当前列能否放置皇后 */
{
    //queen[i] == queen[n]用于保证元素不能再同一列
    //abs(queen[i] - queen[n]) == abs(n - i)用于约束元素不能再同一行且不能再同一条斜线上
    int i;
    for(i = 0; i < n; i++) /* 检查横排和对角线上是否可以放置皇后 */
    {
        if(queen[i] == queen[n] || abs(queen[i] - queen[n]) == abs(n - i))
        {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

具体的实现代码如下：

#include 
#include 
#define max 4
//sum用于描述解的可能的个数，每当输出一次复合要求的位置
//sum的数量就会被+1
int queen[max], sum=0; /* max为棋盘最大坐标 */

void show() /* 输出所有皇后的坐标 */
{
    int i;
    printf("(");
    //i代表行数，queen[i]代表当前行元素所处的列数，
    //注意此处下标是从0开始的

    for(i = 0; i < max; i++)
    {
         printf(" %d", queen[i]+1);
    }
    printf(")\n");
    //每次输出一种解的时候，那么他的解的数量就会增加1
    sum++;
}

//此函数用于判断皇后当前皇后是否可以放在此位置
int PLACE(int n) /* 检查当前列能否放置皇后 */
{
    //queen[i] == queen[n]用于保证元素不能再同一列
    //abs(queen[i] - queen[n]) == abs(n - i)用于约束元素不能再同一行且不能再同一条斜线上
    int i;
    for(i = 0; i < n; i++) /* 检查横排和对角线上是否可以放置皇后 */
    {
        if(queen[i] == queen[n] || abs(queen[i] - queen[n]) == abs(n - i))
        {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

//核心函数，回溯法的思想
void NQUEENS(int n) /* 回溯尝试皇后位置,n为横坐标 */
{
    int i;
    for(i = 0; i < max; i++)
    {
        //首先将皇后放在第0列的位置，对于第一次来说是肯定成立的
        //所以第一次将皇后放在第0行0列的位置
        queen[n] = i; /* 将皇后摆到当前循环到的位置 */
        if(PLACE(n))
        {
            if(n == max - 1)
            {
                show(); /* 如果全部摆好，则输出所有皇后的坐标 */
            }
            else
            {
                NQUEENS(n + 1); /* 否则继续摆放下一个皇后 */
            }
        }
    }
}

int main()
{
    NQUEENS(0); /* 从横坐标为0开始依次尝试 */
    printf("\n");
    printf("总共的解法有%d种\n", sum);

    return 0;
}