初等数论：威尔逊定理的高斯推广之我的证明

题：威尔逊定理的高斯推广：除了$m=4，p^t，或2p^t$之外，其中$p$是奇素数，$t$是正整数，所有小于m而且和m互素的正整数的乘积同余于$1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，而前一种情况同余于$-1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$（摘自《初等数论及其应用第六版》6.2节习题44，偶数答案需要联系出版社才有）

前言：书上的提示是利用同余方程覆盖集证明，表示没想明白。

设：$\prod =$所有小于m而且和m互素的正整数的乘积

证：
共同点证明：
对于任一与m互素的正整数$a$，则对于同余方程必有解
$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\Rightarrow (x,m)=1$，不然$a$不存在

$1.m=4，p^t，或2p^t$证明：
当$m=4\Rightarrow 3\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$，显然成立
当$m=p^t$
$\because$ 对于任一正整数$a$，有$a\in [2,m-2]\bigwedge (m,a)=1$
$\therefore a^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\Rightarrow m\mid (a-1)(a+1)$
$\because (a+1,a-1)=(a+1,2)\in \{1,2\}$
$\therefore p^t\mid (a-1)⨁p^t\mid (a+1)$
$\because a-1\in [1,m-3]<p^t\bigwedge a+1\in [3,m-1]<p^t$
$\therefore p^t\nmid (a-1)\bigwedge p^t\nmid (a+1)$
$\therefore$不存在$a$使得$a^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
当$m=2p^t$，有
$\because 2\mid (a-1)\bigwedge p^t\mid (a+1)\bigwedge (a+1)<2p^t$
$\therefore a=p^t-1\Rightarrow 2\nmid a-1=p^t-2$
$\therefore$不存在$a$使得$a^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

$\therefore$综上，当$m=4\bigvee m=p^t\bigvee m=2p^t$时，每个a都有${\exists }_{b\in [2,m-2]\wedge b̸=a}ab\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，且$b$唯一
$\therefore \prod \equiv m-1\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

$2.m̸=4\bigwedge m̸=p^t\bigwedge m̸=2p^t$证明：
设$m=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_n^{a_n}$为$m$的因式分解，从小到大排列
要使得$m\mid (a-1)(a+1)$

设$m=pq\bigwedge (p,q)=v$这是存在的，因为
$n\ge 3\bigvee (n=2\bigwedge p_1>2)\bigvee (n=2\bigwedge p_1=2\bigwedge a_1>1)$
$\because (p,q)=v$
$\therefore p\overline{p}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)\Rightarrow p\overline{p}=qy+v$
$\therefore$存在$a=p\overline{p}+qy=2qy+v=2p\overline{p}-v$
$\therefore a-v=2qy\bigwedge a+v=2p\overline{p}$
$\therefore n\mid (a-v)(a+v)=4pq\overline{p}y=4n\overline{p}y$
$\therefore v=1\Rightarrow a^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

$\because (p,q)$这样的组合有$\frac{2^n-2}{2}=2^{n-1}-1$，即等于所有的一个二进制串里的$1$在不在，以及排除$1$和$m$还有重复的(除以$2$)
$\because ab\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
$\therefore \prod \equiv (-1{)}^{2^{n-1}-1}\ast (m-1)\equiv (-1{)}^{2^{n-1}-2}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

这里如果将$2p^t$代入$2.$里，可以得到$p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

综合以上，证毕