数位DP 学习笔记1（数位DP入门）

HDU 2089 不要62：

题目大意是给你一个区间，让你统计这个区间里不包含 4 和 62 的数字的个数。

最朴素的思路是：

对于每个区间 [l, r]，遍历所有在区间 [l, r] 里的数字，然后检查每个数字是不是合法（没有 4 和 62 ），如果合法答案加一。

代码如下：

#include
using namespace std;
bool check(int a) {
	while (a) {
		int b = a % 10;
		int c = a % 100;
		if (b == 4 || c == 62)
			return false;
		a /= 10;
	}
	return true;
}
int main() {
	int n, m;
	while (cin >> n >> m) {
		int sum = 0;
		if (n == 0 && m == 0)
			return 0;
		for (int i = n; i <= m; i++) {
			if (check(i))
				sum++;
		}
		cout << sum << endl;
	}
	return 0;
}

对于本题，上面的代码是可以通过的（ 998ms 险过），本题时限 1000ms，时间复杂度是非常高的。

引入数位的概念（个位、十位、百位 ... ），有了数位，就可以换一种方式遍历数字，即：

比如对于 [1, 234] 这个区间，就可以按数位去遍历。

遍历百位数，如果百位数小于这一位的最大值 2 ，那么它的的下一位的最大值为 9 ，否则它的下一位最大值就为 3。以此类推，遍历十位数，如果十位数小于 3，那么它的下一位最大值为 9，否则为 4。

对于这种遍历数字的方法，当区间最小值为 1 的时候是容易的，但如果最小值大于 1，遍历的时候不但要考虑数位的最大值，还要考虑数位的最小值，遍历起来会麻烦许多，因此，可以利用前缀和的思想，求 F(n - 1) = { 1 - ( n - 1 ) 的数字数 } 和 F(m) = { 1 - m 的数字数 }，然后 ANS = F(m) - F(n - 1)。

那样就可以根据上面的思路写出  统计一个区间里数字个数  的遍历数位式的代码：

统计区间里数字个数（错误）：

#include 
using namespace std;
int a[1005];
int cnt(int po, int lim)
//po表示当前遍历到第几个数位，lim表示本次遍历有没有最大值限制
{
    if(po == -1)return 1;
    //如果遍历到最后一位了，返回 1，表示加了一个数字。
    int len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;
    //如果有数位最大值限制，那 len 就是最大值，否则数字可以遍历到 9。
    for(i = 0; i <= len; i++)
    {
        ans += cnt(po - 1, i == len ? 1 : 0);
        //遍历下一位，加到ans里，如果 i 遍历到了最大值，那么下一位将受到限制。
    }
    return ans;
    返回答案。
}
int num(int n)
{
    int p = 0, i;
    while(n)
    {
        a[p++] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    //将数字拆分
    int ans = cnt(p - 1, 1);
    return ans;
}
int main()
{
    int n, m;
    while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF)
    {
        int ans = num(m) - num(n - 1);
        //前缀和求解答案。
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

尽管能很容易的按照思路敲出代码，但上面的代码是错误的！原因就是：

如果某一位不受限制，当这一位遍历到 9 时，它的下一位会变成受限制的一位（不应该受限制）。

那么怎么处理呢？

判断下一位是否受限制的时候要判断当前位是否受限，如果当前位受限且遍历到了最大值，下一位才会受限。

统计区间里数字个数（正确）：

#include 
using namespace std;
int a[1005];
int cnt(int po, int lim)
{
    if(po == -1)return 1;
    int len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;
    for(i = 0; i <= len; i++)
    {
        ans += cnt(po - 1, i == len && lim);
    }
    return ans;
}
int num(int n)
{
    int p = 0, i;
    while(n)
    {
        a[p++] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    int ans = cnt(p - 1, 1);
}
int main()
{
    int n, m;
    while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF)
    {
        int ans = num(m) - num(n - 1);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

现在，有了一个用数位方法遍历区间内所有数字的代码，接下来就可以用它来解决问题。

先解决简单的，把包含 4 的数字从答案中删去。

只需要遍历的时候判断一下，遍历到四即跳过。

统计区间里不包含 4 的数字个数： 

#include 
using namespace std;
int a[1005];
int cnt(int po, int lim)
{
    if(po == -1)return 1;
    int len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;
    for(i = 0; i <= len; i++)
    {
        if(i == 4)continue;
        //如果遍历到 4 ，跳过。
        ans += cnt(po - 1, i == len ? && lim);
    }
    return ans;
}
int num(int n)
{
    int p = 0, i;
    while(n)
    {
        a[p++] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    int ans = cnt(p - 1, 1);
    return ans;
}
int main()
{
    int n, m;
    while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF)
    {
        int ans = num(m) - num(n - 1);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

做完这些，应该能比较容易的实现 统计一个区间里不包含某个数的数字个数了。

但如果要统计不包含连续的两个数的数字（ 62 ）该怎么统计呢？

每次遍历到 2 的时候就需要回去看一下它的前一位是否为 6，如果为 6，那么这个数字就不合法。

统计区间里不包含4和62的数字个数：

#include 
using namespace std;
int a[1005];
int cnt(int po, int lim, int la)
//la表示前一位的数值
{
    if(po == -1)return 1;
    int len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;
    for(i = 0; i <= len; i++)
    {
        if(i == 4)continue;
        if(la == 6 && i == 2){continue;}
        //如果前一位为 6 且当前位是 2 ，跳过。
        ans += cnt(po - 1, i == len && lim, i);
    }
    return ans;
}
int num(int n)
{
    int p = 0, i;
    while(n)
    {
        a[p++] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    int ans = cnt(p - 1, 1, 0);
}
int main()
{
    int n, m;
    while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF)
    {
        int ans = num(m) - num(n - 1);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

写到这里，就已经完成了用遍历数位的方法求解这道题目，并且这份代码是可以 AC 的（ 187ms ），时间效率上提高了很多。

HDU 3555 Bomb：

题目大意是统计一个区间里包含49的数字个数。

与上面的题目非常相似，从上一题的思路过渡一下：

可以统计区间里不包含 49 的数字个数，然后用区间里数字总个数减去不包含 49 的数字个数，就是要的答案。

拿过上面的代码，稍作修改，就可以得到本题的代码：

统计区间里包含49的数字个数（TLE）：

#include 
using namespace std;
int a[1005];
int cnt(int po, int lim, int la)
{
    if(po == -1)return 1;
    int len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;
    for(i = 0; i <= len; i++)
    {
        if(la == 4 && i == 9){continue;}
        ans += cnt(po - 1, i == len && lim, i);
    }
    return ans;
}
int num(int n)
{
    int p = 0, i;
    while(n)
    {
        a[p++] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    int ans = cnt(p - 1, 1, 0);
}
int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d", &m);
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        if(n == 0 && m == 0)break;
        int ans = num(n) - num(0);
        printf("%d\n", n - ans);
    }
    return 0;
}

提交之后发现超时了：

在这份代码中，对于每个数位，其实遍历了不止一次，这样就造成了时间上的浪费，那么可以通过记忆化搜索优化。

统计区间里包含 49 的数字个数（AC）：

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[1005], dp[1005][2][10] = {0};
ll cnt(ll po, ll lim, ll la)
{
    if(po == -1)return 1;
    if(dp[po][lim][la])return dp[po][lim][la];
    ll len = lim ? a[po] : 9, i, ans = 0;
    for(i = 0; i <= len; i++)
    {
        if(la == 4 && i == 9){continue;}
        ans += cnt(po - 1, (i == len) && lim, i);
    }
    dp[po][lim][la] = ans;
    return ans;
}
ll num(ll n)
{
    ll p = 0, i;
    while(n)
    {
        a[p++] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    ll ans = cnt(p - 1, 1, 0);
    return ans;
}
int main()
{
    ll n, m;
    scanf("%lld", &m);
    while(scanf("%lld", &n) != EOF)
    {
        //if(n == 0 && m == 0)break;
        ll ans = num(n) - num(0);
        printf("%lld\n", n - ans);
    }
    return 0;
}

这样的代码大概就是 数位DP 了。