树形 DP 学习笔记

声明

给出的连接主要是看一下它的代码
自认为很好的题就被标粗，前面加了 √ 辣！并被我放大咯！

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树形 DP

树形 DP 和线性的最大区别就是：DP 的顺序是有讲究的，要先 DP 儿子。
如何保证 DP 该点之前子节点已经被 DP 过了呢？
我们可以直接在 DFS 的过程中 DP，DP 时用到了子节点的话就先 DFS 一遍子节点。
【这样特殊在于这种 DFS，不返回一个特定状态值，而是把儿子的所有状态值计算了】
这样就不会出现 DP 顺序的错误辣~(≧▽≦)/~

P.S. 当然也有一类题目的转移是由父亲转移到儿子的，这类题目少见但是经典。

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1. 树形背包——有依赖性的背包问题

这一类问题的状态一般为 f[i][j] 表示以 i 为根的子树 状态为 j 时。

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√【Luogu P2014 选课】【树形背包学习笔记】

这个是精♂妙的理解部分：

f[i][j] 就是相当于节点 i 有个容量为 j 的背包，有 s 个儿子，物品就有 s 组，每组物品价值为 f[si][0]...f[si][节点数] ，体积为 0...节点数 。
然后就是分组背包，每组只能选一个物品，要使价值最大，也就是对于每组枚举选几件和枚举体积。

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二叉苹果树
f[i][j] 表示以 i 为根的子树中保留 j 条树枝所能留下的最多苹果树。

f[i][m]=max(max(f[lson][k]+f[rson][m−k−1],k∈[0,m−1]),f[i][m])

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【Luogu P1270】“访问”美术馆 —— By 安好
（注意代码 time 那层循环应该是正序的，因为它并不用这保证每一组内的物品最多只有一个添加到背包中。）

递归建树。
f[i][j] 表示在以 i 为根的子树花费 j 的时间能得到的最多画数。

f[i][m]=max(max(f[lson][k]+f[rson][m−k−time],k∈[0,m−time]),f[i][m])

注意要减去经过走廊时间，一去一回要乘二，直接在最开始乘就好了。

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2. 每个点的状态较少： f[u][0/1/2…]

【CODEVS1380】没有上司的舞会 —— By Robot
设 f[u][0/1] 表示点 u 是否参加舞会时所得到的最大欢乐度。
如果 u 参加，那 u 的下属只能不参加；如果 u 不参加， u 的下属可以选择参加或者不参加。

f[u][1]+=f[v][0]

f[u][0]=max(f[v][0],f[v][1])

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√ 【BZOJ1907】树的路径覆盖 —— By zyf2000

对于每个节点 u 只有两种状态：转折点 / 非转折点。
（巧妙的状态表示！
f[u][0/1] 表示点 u 是否为转折点时，以 u 为根的子树的最小路径覆盖数。

这题感觉转移是难点呀 … 还是 Kumii 太弱了>_<

1. 当前点是转折点：·当前点是转折点，并且所有儿子也都是转折点（比如以 4 为根的子树） 或 当前点不是转折点，其中一个儿子也不是转折点，当前点与这个儿子连成转折点（这种情况只有当经过当前转折点的链 与 枚举的不是转折点的儿子的链 不重合时）
2. 当前点是非转折点：当前点是非转折点，其所有儿子都是转折点（当前点与其父亲向上组成链） 或 当前点是非转折点，其儿子中有一个为非转折点，当前点与这个儿子组成一条链，其他儿子是转折点（比如以 2 为根子树）。
   
   f[u][1]=min(f[u][1]+f[v][0],tmp+f[v][1])
   
   注意：第二种转移的第二种情况是只有当前枚举的这个儿子是非转折点，其他儿子都为转折点，所以要记一个 tmp 是之前枚举过的儿子是转折点的最小路径覆盖数。