期望（二）—— 概率与期望 DP 学习笔记

概率与期望 DP 总结 —— By sengxian

我们来跟着这篇博客来学习一下好辣。
只会给出一些自己的理解。

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例一 BZOJ 3036

方法一：直接定义期望状态

全期望公式： E(Y)=∑nP(X=xi)E(Y|X=xi)

这道题的终点很明确，那就是走到 n 即停止。对于期望 DP，我们一般采用逆序的方式来定义状态，即考虑从当前状态到达终点的期望代价。因为在大多数情况下，终点不唯一，而起点是唯一的。

这个逆序的应用还是很巧妙的。最后输出应该是 dp(1)。
考虑一个点的答案是由后继点的答案得到的，而且我们要的是第一个点的答案，而 n 号点的期望值肯定是 0
很显然我们应该从后往前推导
所以边就建成反边
为了在一张图里面倒推，而且还是 DAG，很容易想到拓扑序
就倒着用拓扑序逆推就好了

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方法二：利用期望的线性性质

根据期望的线性性质，E(X+Y) = E(X) + E(Y)。所以另外一种求期望的方式是分别求出每一种代价产生的期望贡献，然后相加得到答案。

因为这种方法计算答案十分的便捷，而且适用范围广，所以这种『利用期望的线性性质，单独计算贡献的方法』是我们计算期望首选的方法。

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例二 Codeforces 518D

方法一：直接定义期望状态

在本题这样一个情况中，方法一是用不了的，因为我们的结束状态不明确。

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方法三：使用期望的定义计算

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方法二：利用期望的线性性质

延续方法三的 DP，我们不妨将状态之间的转移抽象成边，只不过只有 dp(i, j) 到 dp(i + 1, j + 1) 的边才有为 1 的边权，其余都为 0。
因为这个 DP 涵盖了所有可能出现的情况，所以我们仍然可以利用期望的线性性质，在刷表的过程中进行计算答案。

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例三、例四

因为状态太多，那么就可以根据期望的线性性质，单独算每一个字符的贡献。

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总结

（请看这里！↓

期望 DP 一般来说有它固定的模式。
一种模式是直接 DP，定义状态为到终点期望，根据全期望公式等，通常采用逆序计算得到答案。
一种模式是利用期望的线性性质，对贡献分别计算，这种模式一般要求我们求出每种代价的期望使用次数，而每种代价往往体现在 DP 的转移之中。
还有一种模式是可以直接使用期望的定义计算。
最后的两个例题是典型的分离变量，用期望的线性性质计算答案的例子，如果状态过于巨大，那么就得考虑分离随机变量了。