线性代数拾遗（五）：矩阵变换的应用

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线性代数拾遗（一）：线性方程组、向量方程和矩阵方程

线性代数拾遗（二）：线性方程组的解集及其几何意义

线性代数拾遗（三）：线性变换以及矩阵的意义

线性代数拾遗（四）：线性方程组的应用

上一章用了一个经济学的例子，介绍了现实中的线性方程组，那个例子里，我们借助矩阵“封装”的作用，将解三个方程组的问题转换为解Ax=0。而我们知道，矩阵不仅可以封装数据，还可以表示线性变换，那这一章就来介绍一下矩阵变换在现实生活中的应用。

一、社会学例子

这个例子同样来自于《线性代数及其应用》这本书。

假如我们要研究一个城市的人口迁入、迁出的问题。用ci和ri分别表示第i年该城市市区和郊区的人口数，c0和r0就是初始年（最开始进行观测的那一年）市区和郊区的人口数。再用xi表示第i年的人口向量：

设人口统计学研究表明，每年有 5% 的城市人口迁移到郊区（其余 95% 继续留在城市），有 3% 的郊区人口移居城市（其余 97% 继续留在郊区），如下图所示：

城市人口迁移示意图

这个研究结果，用数学表示就是，第i年的城区人口经过一年后，在城区和郊区的分布为：

第 ii 年的郊区人口经过一年后，在城区和郊区的分布为：

这时（第i+1年），城区人口有来自一年前城区人口的 95%，以及一年前郊区人口的 3%；同样，郊区人口有来自一年前城区人口的 5%，以及一年前郊区人口的 97%。用向量表示就是，第i+1年的城市人口分布：

也就是每年人口分布是由上一年人口分布左乘一个矩阵（这个矩阵表示线性变换）得到的，我们用 MM 表示这个矩阵，就是：

从这个例子，我们可以发现，当我们假设人口迁移的规律比较简单时（每一年的人口只与上一年人口有关，且是线性关系），人口的迁移就可以通过线性变换来表示。又由于矩阵可以表示一个线性变换，所以每一年的人口都可看作是上一年人口左乘一个变换矩阵（又叫转移矩阵）。

二、马尔可夫链

有同学可能已经意识到了，这个例子实际上就是马尔可夫链嘛！对，这个就是马尔可夫链。

（马尔可夫链）为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备 “无记忆” 的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。

中文维基百科/马尔可夫链zh.wikipedia.org/zh-cn/马尔可夫链

在我们的例子里，城市每一年人口只与上一年人口有关，满足马尔可夫性质，所以人口的迁移可以看作是一个马尔可夫链。这个链中表示状态的节点就是xi，节点中的转换关系就是转移矩阵 M。

这个例子展示了我们借助线性变换解决几何之外的问题时的思路：- 首先，在我们将每年的人口建模为一个二维向量xi 的时候，这个实际问题就已经转换到二维的空间中了。从这个空间的角度来看，每年人口的变化情况，就是二维向量不断变换的过程。- 由于我们假设人口变化是一个线性变换（比如每年城区人口是上一年城区人口和郊区人口的线性组合），所以这个变换可以用矩阵来描述。- 又因为我们进一步简化问题，任务每年的变化是稳定的，所以这个线性变换只需要一个矩阵就可以了。

未来关于这个例子还会进一步展开，对马尔可夫链的平稳分布进行更深入的分析。

# 参考文献

• 线性代数及其应用：第3版/（美）莱（Lay, D.C.）著；沈复兴等译. ——北京：人民邮电出版社，2007.7

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编辑 ∑Gemini

 来源：http://mengqi92.github.io/

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