剪绳子问题解法及对于贪心和递归算法的理解
剪绳子问题是剑指offer算法题中一道考察贪心和动态规划算法的题，在做这道题的时候有两种基本的做法：将绳子尽可能分成长度为3和2，并且优先3，另一种解法是动态规划解法；当时自己对于贪心和DP并不能区分的特别清楚，并且做完这道题还不能够完全理解，因此又借助网上资料才能窥得一二，记录如下。
题目：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
- 解法一：贪心算法
简单来说，就是将一段绳子分为m段，使得m段长度乘起来积最大，最直观的想法是子段肯定不是越长越好，假如不分，积就是他本身的长度（当然题干要求最少要分两段），那么就往小了分，但是1肯定不行，这样的话积就是1了，因此我们慢慢往上看：
对于2和3： 是先分2好，还是先分3好？ 3*(n-3) > 2*(n-2) 求解出来是 n>5，也就是说n>5的时候分3比分2好
对于4：4的话先分3，那就是1*3=3，还不如不分，分2为2*2=4，所以4不分或者是分2一样，为了统一，我们遇到4就分成2+2
对于5：最好的方法是分段，因为3*2>5
对于6：当然也是分段要好
...
我们可以看到从5开始，分段就比不分段要好了，可以这样想一下，当绳子长度为100时，我想先切一段，那第一刀切多少呢？只要是第一刀切4以上就不合理，因为我总能把4以上的数分成2和3组合，且比原段要长，所以只能分3或者2，那么分哪个呢？我们根据 3*(n-3) > 2*(n-2) 求解出来是 n>5，知道当n>5的时候优先分3，再分2（分1就不用考虑了，肯定不划算）
因此我们有了以下策略：当 n>=5 的时候，优先分3再分2，这时候我们就有了以下3种情况：
n%3 == 0: 全分3，不分2
n%3 == 1: 最后一个3和余下的1分成两个2
n%3 == 2: 全分3，最后余数分2
因此程序如下：
class Solution {
public:
int cutRope(int n) {
if(n == 2)return 1;
if(n == 3)return 2;
if(n<2 || n>60)return -1;
int x = n/3;
int y = n%3;
if(y == 0) return pow(3, x);
else if(y == 1)return pow(3, x-1)*4;
else return pow(3, x)*2;
}
};其实这种程序的写法是因为我们知道了每次分3是最优的，所以直接算出了需要分多少个3，但是并不符合贪心的思想，贪心的想法是：我不知道总体分成什么样的最好，我只知道当n>=5的时候，我当前最好的方法就是分3，至于分完之后的事不是我该考虑的，因此按照这个想法我们有如下程序：
public int cutRope(int target) {
int max=1;
if(target<=3 && target>0){
return target-1;
}
while(target>4){
target-=3;
max*=3;
}
return max*target;
}
至于有没有对于先分3再分2有没有严格的数学证明，我在牛客网上看到一种数学证明：
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/57d85990ba5b440ab888fc72b0751bf8?f=discussion
来源：牛客网
问题类似于定周长求最大面积的问题（例如给定四边形周长，求最大面积），当k[0]==k[1]==,==k[m]时乘积最大，设k[0]=x，那么n=x*m,乘积可以用下式表示
f(x)=(x)^(n/x)
下面是f(x)的导数：
乘积函数在n/m=e的时候，取得最大值,可知，当x∈(0,e)时f(x)单调递增，当x>e时，单调递减，因此，在x=e时取得最大值，e≈2.718,是自然对数。
从函数图像上也可以看出这一点f(x)的函数图像
又因为x的取值只能为整数，且f(3)>f(2)，所以，当n＞3时，将n尽可能地分割为3的和时，乘积最大。
- 解法二：DP算法
对于 n>=5 的绳子，必然存在分段点，那么我们假设dp[n]是长度为n的绳子积的最大值，那么我一定能够找到一个点，将长度为n的绳子分为长度为 i 和 n-i 的两段，使得dp[i]与dp[n-i]的乘积为长度为n的绳子的最大值，即 dp[n] = dp[i] * dp[n-i], 代码如下：
class Solution {
public:
int cutRope(int n) {
if(n < 4)return n-1;
int* dp = new int[n+1];
dp[0] = 0; //此处的赋值和真实的解不一样,因为剩余2和3时可以不分
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
dp[3] = 3;
for (int i = 4; i其实写到这里上面的剪绳子的题就解完了，但是为了对贪心算法和动态规划有更好的认识，又找了一个最小路径的题，这个可以帮助我们更好的理解这两者的不同。
如上图所示，求从车站1到车站11的最短路径，L1~L5为5个城市
按照贪心算法，其只专注于当前问题的最优解，从L1-L2，选择最短路径1-2，然后从2至L3选择最短路径2-6，...，因此贪心算法最后给出的路径为绿色线条，每一步都是再当时情况下的最短路径，但是集合起来却不是最短的。贪心算法不一定会得到最后的最优解，但是一旦证明这种方法最优，那么贪心算法效率快的特点就能发挥出来，比如说最小生成树的Prim和Kruskal就是漂亮的贪心算法。
按照动态规划，其会保存所有的最佳路径，比如到达L3的时候，从1至5，6，7三个车站的最优路径都被记录，然后前往L4的时候，就会根据所记录的路径更新到达8，9，10三个车站的最短路径，因此最终的结果一定是最优的，DP算法的本质其实是遍历了所有的情况，只不过是保存了之前的结果，不用重复计算了。
- 简单总结一下：
贪心算法：只关注子问题的最优，不考虑全局，不一定能得到全局最优的结果，但是一旦被证明可行，其效率很高
动态规划：本质上遍历了所有可能性，一定能达到全局最优，但是效率不如贪心算法高