jzoj5025. 【NOI2017模拟3.19】Sum
Description
Sample Input
输入1：
23
输入2：
77685
Sample Output
输出1：
18690
输出2：
1200366582
Data Constraint
赛时
这多久以前了。
好像才两天前……
反正比赛时看到lcm，看到gcd就以为是什么神奇的莫比乌斯函数。
虾鸡儿乱搞，发现我还是不能把里面的gcd给挖出来。
然后再大力尝试改变枚举位置，反正最后划出来的式子奇丑无比。
然鹅我还天真地以为数据是根号级别的。
其实是min25版题（并不）
太菜了。
题解
吭哧吭哧一天终于再次搞懂了min25，然后吭哧吭哧一天终于把这道题的毒瘤式子推出来了。
心力憔悴
首先回顾min25的几个要点，首先是积性函数。
这个东东直接感受一下就好了，毕竟不是完全积性函数，然后又是求gcd，所以直接相乘并不会多出些奇怪的东东。
其次是 f ( p q ) f(p^q) f(pq)能快速求，且 f ( p ) f(p) f(p)能表示成多项式或几个完全积性函数的积。
这个东东并不显然，我们直接推柿子。
引理：
先有一个引理，之后会用到：
l c m ( g c d ( a , b ) , g c d ( a , c ) ) = g c d ( a , l c m ( b , c ) ) lcm(gcd(a,b),gcd(a,c))=gcd(a,lcm(b,c)) lcm(gcd(a,b),gcd(a,c))=gcd(a,lcm(b,c))
引理证明：
考虑gcd和lcm的意义是什么。我们发现，对于任意两个数a,b分解质因数，那么他们之间的gcd和lcm即为质因数指数求min和求max。
那么上柿子我们就变为：
m a x ( m i n ( a ′ , b ′ ) , m i n ( a ′ , c ′ ) ) = m i n ( a ′ , m a x ( b ′ , c ′ ) ) max(min(a',b'),min(a',c'))=min(a',max(b',c')) max(min(a′,b′),min(a′,c′))=min(a′,max(b′,c′))
其中 a ′ , b ′ , c ′ a',b',c' a′,b′,c′意义是分解质因数后 a , b , c a,b,c a,b,c同一个质数的指数是多少。
然后这个东东分类讨论即可知道他是对的。
当然，换成另一个形式也是正确的：
g c d ( l c m ( a , b ) , l c m ( a , c ) ) = l c m ( a , g c d ( b , c ) ) gcd(lcm(a,b),lcm(a,c))=lcm(a,gcd(b,c)) gcd(lcm(a,b),lcm(a,c))=lcm(a,gcd(b,c))
柿子证明
现在正式开始推柿子。
∑ i = 1 n ∑ j = 1 i ∑ k = 1 i l c m ( g c d ( i , j ) , g c d ( i , k ) ) \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^ilcm(gcd(i,j),gcd(i,k)) i=1∑nj=1∑ik=1∑ilcm(gcd(i,j),gcd(i,k))
我们用一个函数替换后面的东东：
∑ i = 1 n f ( i ) , f ( x ) = ∑ j = 1 x ∑ k = 1 x l c m ( g c d ( x , j ) , g c d ( x , k ) ) \sum_{i=1}^nf(i),f(x)=\sum_{j=1}^x\sum_{k=1}^xlcm(gcd(x,j),gcd(x,k)) i=1∑nf(i),f(x)=j=1∑xk=1∑xlcm(gcd(x,j),gcd(x,k))
现在问题变为求f。
f ( p q ) = ∑ j = 1 p q ∑ k = 1 p q l c m ( g c d ( p q , j ) , g c d ( p q , k ) ) f(p^q)=\sum_{j=1}^{p^q}\sum_{k=1}^{p^q}lcm(gcd(p^q,j),gcd(p^q,k)) f(pq)=j=1∑pqk=1∑pqlcm(gcd(pq,j),gcd(pq,k))
= ∑ i = 0 q p i ∑ j = 1 p q ∑ k = 1 p q [ l c m ( g c d ( p q , j ) , g c d ( p q , k ) ) = p i ] =\sum_{i=0}^qp^i\sum_{j=1}^{p^q}\sum_{k=1}^{p^q}[lcm(gcd(p^q,j),gcd(p^q,k))=p^i] =i=0∑qpij=1∑pqk=1∑pq[lcm(gcd(pq,j),gcd(pq,k))=pi]
= ∑ i = 0 q p i ∑ j = 1 p q ∑ k = 1 p q [ g c d ( p q , l c m ( j , k ) ) = p i ] =\sum_{i=0}^qp^i\sum_{j=1}^{p^q}\sum_{k=1}^{p^q}[gcd(p^q,lcm(j,k))=p^i] =i=0∑qpij=1∑pqk=1∑pq[gcd(pq,lcm(j,k))=pi]
已知，c>q，那么可以从gcd的意义上知道，柿子可以拆成这样：
= ∑ i = 0 q p i ∑ j = 1 p q ∑ k = 1 p q [ l c m ( j , k ) = s ∗ p i 且 s ! ∣ p ( 不 整 除 ) ] =\sum_{i=0}^qp^i\sum_{j=1}^{p^q}\sum_{k=1}^{p^q}[lcm(j,k)=s*p^i且s !| p(不整除)] =i=0∑qpij=1∑pqk=1∑pq[lcm(j,k)=s∗pi且s!∣p(不整除)]
然后这样还是很难直接推，于是继续从意义下手。
首先，右边的 s p i sp^i spi（sp杂化现象） 可以拆成两部分，一个是 s s s，一个是 p i p^i pi，所以我们分开贡献算。我们考虑 j j j的贡献为 p x ∗ s 1 p^x*s1 px∗s1， k k k的贡献为 p y ∗ s 2 p^y*s2 py∗s2。那么我们可以知道，那个s我们可以直接用欧拉函数来表示，然后再注意一下边界即可得到下面柿子：
φ ( p q − i ) 2 + 2 ∗ ∑ x = 0 i − 1 φ ( p q − x ) ∗ φ ( p q − i ) \varphi (p^{q-i})^2+2*\sum_{x=0}^{i-1}\varphi (p^{q-x})*\varphi (p^{q-i}) φ(pq−i)2+2∗x=0∑i−1φ(pq−x)∗φ(pq−i)
然后再利用等比数列和欧拉函数的性质，大力地花费多张草稿纸和理智和心智，即可将这个丑陋的式子拆掉。
（mdzz推了我两次错的，正负号看得昏头）
所以我们终于得到一个非常好康的式子：
f ( p q ) = ( 2 q + 1 ) ∗ ( p 2 q − p 2 q − 1 ) + p q − 1 f(p^q)=(2q+1)*(p^{2q}-p^{2q-1})+p^{q-1} f(pq)=(2q+1)∗(p2q−p2q−1)+pq−1
所以我们就满足min25的几个条件了。
切吧！
代码
注意着玩意还要自然溢出，帮pascal选手 （话说还有这玩意儿吗） QWQ。
#include