2016.07.21【初中部 NOIP提高组 】模拟赛C

题目：https://jzoj.net/senior/#contest/problems/1767

T1：题目大意：指在一个序列里，找出每一个数的右边的数小于他的数的个数，并记录起来。一旦有一个数比它大，则接下来的数都不可计入答案。

解法：很明显，如果暴力O(n²)的话，肯定会超时，所以我们可以用一个栈来优化一下，确保这个栈必须是降序的，然后每次加入一个数就把栈里面所有大于这个数的数删掉，并统计出还在栈里的数有多少个，记录一下即可。

T2：统计出[L..R]区间里每个数转化成2进制数后，'0'的个数>='1'的个数的数有多少个。

这道题目如果用纯粹的暴力求解，只能60分。然而我们可以优化。

在优化之前，我们要明白对于求一个[L..R]区间，只需求出1~R区间的方案数，再减去1~L-1区间内的方案数就等于L~R的方案数了，所以我们只需定义一个函数conut(x)，表示1~x的round numbers的数量。

例（当x=46的时候）：

46(10)=101110(2)

对于101110这个二进制数，我们如果统计比它位数的少的数的round numbers的数量的话，则，可模拟成如下计算：

5位：1 _ _ _ _ //后面4位显然可以填3个0,4个0，所以方案数就是C(4,3)+C(4,4)

4位：1 _ _ _  //后面3位显然可以填2个0,3个0，所以方案数就是C(3,2)+C(3,3)

3位：1 _ _   //后面2位显然必须填2个0，所以方案数就是C(2,2)

2位：1 _     //后面1位必须填0，所以方案数就是C(1,1)

对于计算时位数比原来x转化成2进制位数小的数，会方便计算很多，但对于位数相等的话，则是不同的情况。

如果位数相同：

第一位必须是1，第二位也必须是0（否则就大于x），第三位则可填0，也可填1，则这是一个特殊的情况：

1 0 1 _ _ _

我们可以这么计算，后面还有3位，可以填2个0,3个0，则方案数是C(3,2)+C(3,3)。

第4位也是1，也可以照上例计算，依次类推，最后可得总方案数。

这其实与数位Dp的思想是类似的，对于每一位他所对应的情况，只不过这里是直接用数学方法求出来。

T3：题目大意：给定一个矩形，要求在'1'的位置种植玉米，且玉米的位置不能相邻（上下左右），问总共有多少种种植玉米的方案数。

很明显是状压DP。如果直接用搜索的话，虽然因为数据水的原因能坑到90分，但是纯粹搜索好像真的没有什么优化了。。接下来讲讲如何状压。

其实这里状压的思路就是把2进制数转化成十进制数，并运用好位运算和进制转化的一些思路来做。再简单地说，就是当前这一行的状态其实是由上一行的状态得来的，我们把上一行的状态看做一个十进制数，而并非一个真正的二进制串，这就是所谓的状态压缩。

例：

4 4

1 0 0 1

1 1 1 0

1 1 0 0

0 1 1 0

如果我们要DP，对于第一行来说他是特殊的，因为他无法根据上一行的状态得来，所以我们可以预处理一下。即从1~1 shl m-1去判断这个十进制数转化成2进制数后，是否能种植——亦即，这个十进制数是1的地方，原来第一行的这个地方也必须是1，如果是0则这个十进制数不可行。

预处理之后，我们在求第2行的时候就可以枚举上一行(i-1)的状态——十进制数(x)，再枚举当前第i行的状态——十进制数(y)，然后判断这两个十进制数是否符合条件（上下不能相邻——都有'1'），并判断第i行是否能存在这个十进制数(y)，如果这2个条件都符合，则可以把f[i,y]累加f[i,x]，并mod上10^9，最后输出最大值即可。

T4：给出一个无向图G=(V,E)然后问让你求出节点1到节点n的次短路。

很明显是spfa。

这里介绍两种方法：

第一种：最容易想到的，两遍——spfa(1)，spfa(n)，求出1到某个点的最短距离，和n到某个点最短距离，然后判断1到x点，与n到x点的距离，然后判断这两个点到x点的距离和是否小于最短路并且比当前的最小值还小则记录下来，最后输出咯。

第二种：1遍spfa。

我们知道点x到点a[x,i]只有相对应的4种情况——

dis1[a[x,i]],dis2[a[x,i]],dis1[x]+b[x,i],dis2[x]+b[x,i]

这4种请况的最小值明显就是dis1[a[x,i]]的值了，而次小值则是这4个数当中次小的值（次小肯定不能与最小值相等）

然后更新完最小值后，如果这两者之间的某一个值被更新了，都要把a[x,i]放进队列，不然的话就求不到最短距离和次短距离（重点）