最短路径学习总结

问题描述：给定图，求两点间的最短距离。
主要有三种算法：
1.floyd算法：枚举任意点作为中间点动态更新剩余点间的距离。优点：可以求出所给图中任意两点间的最小距离；缺点：时间复杂度高，点如果有达到三位数或者更多则不适用。适用于点较少的图。
主要步骤：1.确定所给图是有向图还是无向图；
2.初始化所有点的距离无穷，将所给的图存到邻接矩阵之中；
3.从第一个点开始枚举，对剩余的所有的以枚举点为中间点的两点的距离进行动态更新，小了更新，大了不更新；
4.直到枚举完所有点，算法结束邻接矩阵中存的就是任意两点间的最近距离了。

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代码如下：

void floyd(int n)//n为节点数 
{
    for(int k=1;k<=n;++k)//枚举中间点 
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)//扫描整个矩阵 又向图与无向图都适用 
            {                    
                if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j])
                {
                   map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
                }
            }
         } 
    }
}

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2.dijkstra算法：将所有点分成两个集合，每次确定一点，直到加入所有点。优点：可以快速确定所给两点间的最短距离与路线，较flyod有较大提升；缺点：一次只能求出两个点间的最短距离。
具体步骤：1.初始化矩阵，将题中所给图存到邻接矩阵之中；
2.确定所求起点与终点；
3。将起点加入集合S（确定点集），剩余点为集合U，以起点为原点更新与之邻接且没有加入集合S的点到起点str的距离（注意:此处是dijkstra与prim的唯一区别）：
4.在U集合中选取与起点str最近的点；
5.加入集合S；
6.以此点为原点更新与之邻接且在集合U中的点到起点str的距离，小了更新。
7.依此，直到所有点加入集合S为止。

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代码如下：

void dijkstra(int n,int s)//n为总结点数  s为起点 
{
    memeset(vis,false,sizeof(vis));//初始化标记数组  
    for(int i=1;i<=n;++i)  dis[i]=map[s][i];//初始化到起点的最近距离 
    dis[s]=0;// 
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int top=inf,k=s;//记录最短路和这个点 k必须初始化
        for(int j=1;j<=n;++j)//找出最短距离 
        {
            if(!vis[j]&&dis[j]//如果剩下的点都是零点 那么此条件不可能成立 即k伪随机值
            {
                top=dis[j]; k=j;
             } 
        }
     //   if(top==inf)  break;防止k为随机值 如果只剩下零点就不用更新了 可以优化时间复杂度
        vis[k]=true;//将k加入集合 
        for(int i=1;i<=n;++i)//更新 
        {
            if(!vis[i]&&dis[j]>dis[k]+map[k][j])
            {
                dis[j]=dis[k]+map[k][j];
            }
        }
     } 
 } 

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注意事项：1.题中如果没有直接给出边的信息，你应该将他适当转化，使其能存入到邻接矩阵中；
2.存图时，应该考虑是否有多重边，根据题意，筛选出两点间的最小边或最大边；
3.求最短路径最直接的问题就是图中的总节点数目，题中可能没有给确定的数目，这时就应该用暴力解决，枚举满足题意得所有点；
4.有些情况下要考率是否起点和终点相同，可能会在这挖坑；