离散数学-⑨-图

图

图和图模型

• 图：一个图$G=(V,E)$由顶点的非空集V合边的集合E构成，每条边有一个或两个顶点与它相连，这样的顶点称为端点，边连接它的端点
• 无向图：一组顶点以及连接这些顶点的一组无向边
• 简单图：没有多重边和环的无向图
• 多重图：可能包含多重边但不包含环的无向图
• 伪图：可能包含多重边和环的无向图
• 有向图：一个有向图（V,E）由一个非空顶点集V和一个有向边集E组成，每条有向边与一个顶点有序对相关联，与有序对（u,v）相关联的有向边开始于u、结束于v
• 图模型
  • 社交网络
  • 通信网络
  • 信息网络
  • 软件设计应用
  • 生态网络

图的术语和几种特殊的图

• 邻接：若u和v是无向图G中的一条边e的端点，则称两个顶点u和v在G里邻接
• 关联：若一个顶点是一条边的端点则那条边关联那个顶点
• 度：在无向图中，顶点的度是与该顶点相关联的边的数目，顶点v的度表示为deg(v)
• 握手定理：设G=(V,E)是有m条边的无向图，则

$$2m=\sum _{v\in V}deg(v)$$

• 无向图有偶数个度为奇数的顶点
• 当(u,v)是带有有向边的图G的边时，说u邻接到v，而且说v从u邻接，顶点u称为(u,v)的起点，v称为(u,v)的终点
• 入度：在带有有向边的图里，顶点v的入度记做$de{g}^{-}(v)$，是以v作为终点的边数
• 出度：在带有有向边的图里，顶点v的出度记做$de{g}^{+}(v)$，是以v作为起点的边数
• 设G=(V,E)是带有向边的图，于是

$$\sum _{v\in V}de{g}^{-}(v)=\sum _{v\in V}de{g}^{+}(v)=|E|$$

• 二分图：若把简单图G的顶点集合分成两个不想交的非空集合$v_1$和$v_2$，使得图中的每一条边都连接$v_1$中的一个顶点与$v_2$的一个顶点（G中没有边连接$v_1$中的两个顶点或$v_2$中的两个顶点），则称G为二分图
• n个顶点的完全图($K_n$)：带n个顶点的无向图，其中每对顶点都用一条边连接
• 完全二分图($K_{m,n}$)：顶点集划分成m个元素的子集和n个元素的子集，使得两个顶点被一条边所连接当且仅当一个顶点属于第一个子集而灵位一个顶点属于第二个子集
• 一个简单图是二分图当且仅当能够对图中的每个顶点赋予两种不同的颜色，并且使得没有两个相邻的顶点被赋予同样的颜色
• 匹配：一组边的集合且任意两边都没有公共端点
• 被匹配：若一个顶点是匹配M中的一条边的端点，则称该顶点在M中被匹配，否则称为未被匹配
• 最大匹配：包含最多边数的匹配
• 完全匹配：在二分图G=(V,E)中的一个匹配M，其划分为$(V_1,V_2)$，若$V_1$中的每个顶点都是匹配中的边的端点或$|M|=|V_1|$，则称匹配M是从$V_1$到$V_2$的完全匹配
• 霍尔婚姻定理：带有二部划分$(V_1,V_2)$的耳根图G=(V,E)中有一个从$V_1$到$V_2$的完全匹配当且仅当对于$V_1$的所有子集A，有

$$|N(A)|\ge |A|$$

• 图G=(V,E)的子图是图H=(W,F)，其中$W\subseteq V$且$F\subseteq E$，若$H\ne G$，则称图G的子图H是G的真子集
• 两个简单图$G_1=(V_1,E_1)$和$G_2=(V_2,E_2)$的并图是带有顶点集$V_1\bigcup V_2$和边集$E_1\bigcup E_2$的简单图，表示为

$$G_1\bigcup G_2$$

图的表示和图的同构

• 邻接表：用表的方式表示图，列出顶点和相邻顶点
• 邻接矩阵：G的邻接矩阵A是一个$n\times n$的0-1矩阵，若$A=[a_{ij}]$，则

$$a_{ij}=\{\begin{array}{l}1当\{v_1,v_2\}是G的一条边\\ 0\end{array}$$

• 关联矩阵：设G=(V,E)是无向图，$v_1,v_2,...,v_n$是G的顶点，而$e_1,e_2,...,e_m$是该图的边，相对于V和E的这个顺序的关联矩阵是$n\times m$的矩阵$M=[m_{ij}]$，其中

$$m_{ij}=\{\begin{array}{l}1当边e_j关联v_i时\\ 0\end{array}$$

• 同构的简单图：设$G_1=(V_1,E_1)$和$G_2=(V_2,E_2)$是简单图，若存在一对一的和映上的从$V_1$到$V_2$的函数$f$，且$f$具有这样的性质：对$V_1$中所有的a和b来说，a和b在$G_1$中相邻当且仅当$f(a)$和$f(b)$在$G_2$中相邻，则称$G_1$和$G_2$是同构的

连通性

• 从u到v的通路：一条或多条边的序列$e_1,e_2,...,e_n$，其中对$i=0,1,...,n$来说，$e_i$关联着$\{x_i,x_{i+1}\}$，其中$x_0=u$而$x_{n+1}=v$
• 简单通路：不多次包含一条边的通路
• 回路：在相同顶点处开始与结束的通路
• 若无向图中每一对不同的顶点之间都有通路，则该图称为连通的
• 在连通无向图的每一对不同顶点之间都存在简单通路
• 强连通：若对于有向图中的任意顶点a和b，都有从a到b和从b到a的通路，则该图是强连通的
• 弱连通：若在有向图的基本无向图中，任何两个顶点之间都有通路，则该有向图是弱连通的

欧拉通路和哈密顿通路

• 欧拉回路：恰好包含图的每条边一次的回路
• 欧拉通路：恰好包含图的每条边一次的通路
• 含有至少2个顶点的连通多重图具有欧拉回路当且仅当它的每个顶点的度都为偶数
• 连通多重图具有欧拉通路但无欧拉回路当且仅当它恰有2个度为奇数的顶点
• 哈密顿回路：经过图G中每一个顶点恰好一次的简单回路
• 哈密顿通路：经过图G中每一个顶点恰好一次的简单通路
• 狄拉克定理：如果G是有n个顶点的简单图，其中$n\ge 3$，并且G中每个顶点的度都至少为n/2，则G有哈密顿回路
• 欧尔定理：如果G是有n个顶点的简单图，其中$n\ge 3$，并且对于G中每一对不相邻的顶点u和v来说，都有$deg(u)+deg(v)\ge n$，则G有哈密顿回路
• 哈密顿回路的应用
  • 格雷码
  • 旅行商问题

最短通路问题

• 加权图：给每条边附上一个数的图
• 通路的长度：这条通路上各条边的权的总和
• 最短通路算法：
  • 迪克斯特拉算法（Dijkstra）：用于求出连通简单无向加权图中两个顶点之间的最短通路的长度

平面图

• 平面图：若可以在平面中画出一个图而边没有任何交叉，则这个图是平面图，这种画法称为这个图的平面表示

• 欧拉公式：设G是带e条边和v个顶点的连通平面简单图，设r是G的平面图表示中的面数，则

$$r=e-v+2$$

• 若G是e条边和v个顶点的连通平面简单图，其中$v\ge 3$，则

$$e\le 3v-6$$

• 若G是连通平面简单图，则G中有度数不超过5的顶点
• 若连通平面简单图有e条边和v个顶点，$v\ge 3$并且没有长度为3的回路，则

$$e\le 2v-4$$

• 初等划分：若一个图是平面图，则通过删除一条边{u,v}并且添加一个新顶点w和两条边{u,w}与{w,v}获得的任何图也是平面图，这样的操作称为初等划分
• 同胚：若可以从相同的图通过一系列初等划分来获得$G_1=(V_1,E_1)$和图$G_2=(V_2,E_2)$

图着色

• 着色：简单图的着色是对该图的每个顶点都指定一种颜色，使得没有相邻的顶点颜色相同

• 着色数：图的着色数是着色这个图所需要的最小颜色数，图G的着色数记做$\chi (G)$

• 四色定理：平面图的着色数不超过4

• 图着色的应用：

  • 安排考试座位
  • 频率分配
    图着色

• 着色：简单图的着色是对该图的每个顶点都指定一种颜色，使得没有相邻的顶点颜色相同

• 着色数：图的着色数是着色这个图所需要的最小颜色数，图G的着色数记做$\chi (G)$

• 四色定理：平面图的着色数不超过4

• 图着色的应用：

  • 安排考试座位
  • 频率分配
  • 变址寄存器