离散数学基础知识

目录

集合论

问题

集合及其运算

图论

近世代数

数理逻辑

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集合论

集合论成了数学各分支的基础，也是计算机科学非常重要的基础知识。它的起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行了卓有成效的研究。但集合论实际发展是由19世纪70年代德国数学家康托(G. Cantor)在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立的。康托对具有任意特性的无穷集合进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础。因此，康托被誉为集合论的创始人。但随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在20世纪初，出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论，如康托悖论、罗素(Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了集合论的发展。由此，激发许多数学家、哲学家为克服这些矛盾建立了各种公理化集合论体系。

问题

问题1：毕业舞会问题

毕业舞会上，小伙子与姑娘跳舞，已知每个小伙子至少与一个姑娘跳过舞，但未能与所有姑娘跳过。同样地，每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞，但也未能与所有的小伙子跳过舞。

证明1：在所有参加舞会的小伙与姑娘中，必可找到两个小伙子和两个姑娘，这两个小伙子中的每一个只与这两个姑娘中的一个跳过舞，而这两个姑娘中的每一个也只与这两个小伙中的一个跳过舞。

问题2：在至少有两个人的团队里，总有两个人在此团队里有相同个数的朋友？

集合及其运算

在朴素集合论体系中，“集合”是集合论中的一个原始概念，我们知道在欧氏几何中对点、线不加定义，在朴素集合论中“集合”不能严格定义。

通常把一些互不相同的东西放在一起所形成的整体就叫做一个集合。构成集合的每一个东西，称为该集合的一个元素。

康托(Cantor)   1874年所给的“集合”定义：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。

常用大写英文字母A,B,C,...表示集合，用小写英文字母a,b,c,...,表示集合中的元素。

如果x是集合A的元素，就说x属于A，记为x∈A；如果x不是集合A的元素，就说x不属于A，记为x∉A。

(1)互异性：集合中的元素是各不相同的。

(2)无序性：集合中的元素不规定顺序。      

(3)确定性：对于一个集合A来说，某一对象x或者是集合A的元素，或者不是，两者必居其一。      

(4)任意性：集合的元素可以是具体的，也可以是抽象的；集合的元素可以是集合。

列举法：列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来。

描述法：当集合A是具有某种性质P的元素全体时，我们往往用下面的形式表示A。

A={x| x具有性质P}

集合间的关系：子集、真子集、包含、相等、空集∅。

以集合为元素的集合称为集族。

集合S的所有子集(包括空集Ø和S本身)形成的集族称为S的幂集，并记为2^S，或记为P(S)。

为了求出给定集合A的幂集，首先求出A的元素个数由少到多的所有子集，再将它们组成集合即可。

设集合S的元素个数|S|=n(n为自然数)，则|P(S)|=| 2^S|=2^n。

2^Ø={Ø}     

就一个问题来说，常称包含所考虑问题的所有集合的集合S，称为该问题的全集。

容斥原理

抽屉原理

映射、单射、双射、满射

二元关系、全关系、空关系、恒等关系、逆关系、整除关系、模n同余

自反、反自反、对称、反对称、传递

合成、幂运算、闭包（传递闭包、自反闭包、对称闭包、自反传递闭包）

等价关系、等价类、划分、商集、

偏序关系、全序关系、哈斯图、上界下界、最大元素最小元素、上确界下确界、极大元素极小元素

 

 

 

图论

图论是数学的一个分支，它以图为研究对象。图是由若干给定的点和连接两点的线所构成。其中，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有的特定关系。

图论起源于18世纪，文字记载最早出现于瑞士数学家欧拉(L.Euler)1736年的论著中，关于解决哥尼斯堡七桥问题。

无向图、有向图、子图、同构、连通性、割点、桥、通道、回路、连通度、割集

欧拉图

哈密顿图、旅行商问题

最短路问题、树、平面图、偶图与匹配

近世代数

群、子群、变换群、置换群、循环群、子群的陪集、群的同态、环、子环、格、子格、布尔代数

数理逻辑

《面向计算机科学的数理逻辑》

命题逻辑

谓词逻辑