三维空间里一个点绕矢量旋转后的新的点的坐标

在三维空间里一个点绕X轴 Y轴 Z轴旋转一定弧度后新的点的坐标是容易计算的，问题是如果它所绕的旋转轴是一个任意矢量(x,y,z)的话，怎么知道旋转angle弧度后新的点的坐标呢？

在OPENGL里有一个函数glRotatef(angle,x,y,z)可以实现此功能，它的实现是左乘一个矩阵

这里假定坐标轴是右手系的(opengl的坐标轴是右手系的，和大学数学教课书里一样)，其中 c = cos(angle)，s = sin(angle)，angle的正负是这样规定的，即在右手系法则里，把大拇指指向矢量方向，其余四指沿逆时针方向自然环绕的角度为正的角度，矢量(x,y,z)必须是已经单位化的且经过原点，这样就可算出：

new_x = (x2(1-c)+c) * old_x + (xy(1-c)-zs) * old_y + (xz(1-c)+ys) * old_z

new_y = (yx(1-c)+zs) * old_x + (y2(1-c)+c) * old_y + (yz(1-c)-xs) * old_z

new_z = (xz(1-c)-ys) * old_x + (yz(1-c)+xs) * old_y + (z2(1-c)+c) * old_z

(old_x,old_y,old_z)是原来的点的坐标，(new_x,new_y,new_z)是旋转后的新的点的坐标

这个公式是怎么推导出来的这里不细述，一种方法是通过左乘旋转矩阵M把向量变换为坐标系的一个轴比如z，然后再绕z轴旋转该angle相当于左乘一个矩阵，最后再把向量左乘M的逆矩阵变回去，这一系列的矩阵相乘的结果就是上面的这个矩阵。这个问题困惑我好久了，比如一个矢量绕一个矢量旋转一定角度后得到新的矢量是什么，用它来计算就可以，可以分别计算矢量的起点和终点旋转后得到的新的点的坐标，也就得到了新的矢量。

Rodrigues' rotation formula可以帮你更容易记住以上结论，揭示了旋转矩阵R与旋转角度θ，旋转轴n之间的关系：

R=cosθ I + (1-cosθ) n n' + sinθ n^

其中I是单位矩阵，n=[x y z]'是单位向量，n^=[[0 z -y]' [-z 0 x]' [y -x 0]']是一个对角线元素都为零的反对称矩阵（也叫斜对称矩阵）。

旋转矩阵的另一种更常见的写法：R=I + sinθ n^ + (1-cosθ) n^ n^

这个与上面的写法是等价的，不信可以展开对比一下。但这个要好记一点吧。

• 另外使用四元数(Quaternion)来解决该问题，也是一个方便的途径，四元数是Hamilton找到的一种对复数的扩展。已知旋转轴(x,y,z)是单位向量，θ是旋转的角度，(X,Y,Z)是P点的坐标，一个用来执行旋转的四元数q=((x,y,z)sin(θ/2), cos(θ/2))，同时，记q的逆为r，则r=((-x,-y,-z)sin(θ/2), cos(θ/2))，待旋转的点P用四元数表示p=((X,Y,Z),0)，旋转后的点P'(X',Y',Z')对应的四元数p'=q*p*r，可以验证p'也是一个虚四元数。关于四元数的乘法可参考Grassmann product
• 轴角对应的四元数q=cos(θ/2)+sin(θ/2)(xi+yj+zk)