前缀表达式（波兰表达式）、中缀表达式、后缀表达式（逆波兰表达式）的总结

1、概念

在数学中常见到的标准表达式，形如：2 * 6 + ( 9 + 4 ) * 6 / 4 。这种表达式在数学上被称为 中缀表达式，表达式的运算符在两个操作数的中间。中缀表达式是我们最常用到的算术表达式，但是对于计算机来说，解析相对比较困难，需要判断小括号、运算符的优先等级，也比较复杂。
为解决这一问题，波兰数学家Jan Lukasiewicz发明了波兰表示法和逆波兰表示法，即前缀表达式和后缀表达式。 前缀表达式（波兰表达式）：前缀表达式的运算符位于操作符之前 ；后缀表达式（逆波兰式）：运算符位于操作数之后。

表达式	举例	特点
前缀表达式（波兰表达式）	- * + 3 4 5 6	运算符位于操作符之前
中缀表达式	( 3 + 4 ) * 5 - 6	算符在两个操作数的中间
后缀表达式（逆波兰表达式）	3 4 + 5 * 6 -	运算符位于操作数之后

2、如何计算求值

前缀表达式的计算机求值：
        从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算付对它们做相应的计算（栈顶元素和次顶元素），并将结果入栈：重复上述过程知道表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如：( 3 + 4 ) * 5 - 6 对应的前缀表达式就是 - * + 3 4 5 6 针对前缀表达式求值步骤如下：

1. 从左至右扫描，将6、5、4、3压入堆栈
2. 遇到 + 运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
3. 接下来是 * 运算符，因此弹出7和5，计算出7x5=35，将35入栈
4. 最后是 - 运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果

注意：生成的前缀表达不是简单得将运算符写在前面，而是有运算顺序地写在表达式的前面，优先运算的运算符处于运算符的右边。

中缀表达式
        中缀表达式的求值往往会将中缀表达式转成其他表达式来操作（一般转成后缀表达式）。

后缀表达式的计算机求值
        从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素和栈顶元素），并将结果入栈：重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如 ( 3 + 4 ) * 5 - 6 对应的前缀表达式就是 3 4 + 5 * 6 - 针对后缀表达式求值步骤如下：

1. 从左至右扫描，将3和4压入堆栈
2. 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
3. 将5入栈
4. 接下来是 * 运算符，因此弹出5和7，计算出7*5=35，将35入栈
5. 将6入栈
6. 最后是 - 运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

3、中缀表达式转前缀表达式

1、转换步骤
遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

举例说明：以 中缀表达式：1 + ( ( 2 + 3 ) × 4 ) - 5 为例说明：

4、中缀表达式转后缀表达式

1、转换步骤
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 比栈顶高，也将运算符压入S1
（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
(4-3) 比栈顶低或相同，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；可以想象成“（”比任何运算符都高，“）”比任何运算符都低 。
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

举例说明：以 中缀表达式：1 + ( ( 2 + 3 ) × 4 ) - 5 为例说明：

2、代码实现：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Stack;

/**
 * @author LiuRongHua
 * @updateUser
 * @description  输入中缀表达式 ， 将中缀表达式转成逆波兰表达式（后缀表达式），最后通过计算逆波兰表达式得到结果
 * @updateRemark
 * @createDate 2020/4/19 13:46
 * @updateDate 2020/4/19 13:46
 **/
public class PolandNotationCalculator {

    /**
     * 将中缀表达式 字符数组 转成 后缀表达式 字符数组
     * @param PrefixExpressionList    中缀表达式 字符数组
     * @return suffixExpression   后缀表达式 的 List数组
     * @return
     */
    public static List<String> PrefixExpression2suffixExpressionList(List<String> PrefixExpressionList){
        //定义两个栈
        Stack<String> s1 = new Stack<String>(); // 符号栈
        //说明：因为s2 这个栈，在整个转换过程中，没有pop操作，而且后面我们还需要逆序输出
        //因此比较麻烦，这里我们就不用 Stack 直接使用 List s2
        //Stack s2 = new Stack(); // 储存中间结果的栈s2
        List<String> s2 = new ArrayList<String>(); // 储存中间结果的Lists2

        //遍历PrefixExpressionList
        for(String item: PrefixExpressionList) {
            //如果是一个数，加入s2
            if(item.matches("\\d+")) {
                s2.add(item);
            } else if (item.equals("(")) {
                s1.push(item);
            } else if (item.equals(")")) {
                //如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃
                while(!s1.peek().equals("(")) {
                    s2.add(s1.pop());
                }
                s1.pop();//!!! 将 ( 弹出 s1栈， 消除小括号
            } else {
                //当item的优先级小于等于s1栈顶运算符, 将s1栈顶的运算符弹出并加入到s2中，再次转到(4.1)与s1中新的栈顶运算符相比较
                //问题：我们缺少一个比较优先级高低的方法
                while(s1.size() != 0 && Operation.getValue(s1.peek()) >= Operation.getValue(item) ) {
                    s2.add(s1.pop());
                }
                //还需要将item压入栈
                s1.push(item);
            }
        }

        //将s1中剩余的运算符依次弹出并加入s2
        while(s1.size() != 0) {
            s2.add(s1.pop());
        }

        return s2; //注意因为是存放到List, 因此按顺序输出就是对应的后缀表达式对应的List
    }

    /**
     * 将字符串，转成字符数组
     * @param str
     * @return
     */
    public static List<String> String2List(String str){
        // 将 str ，分割成字符数组
        String[] split = str.split(" ");
        List<String> list = new ArrayList<>();
        for (String s : split) {
            list.add(s);
        }
        return list;
    }

    /**
     * 接收一个逆波兰表达式的字符数组，返回表达式的结果
     *
     * 思路：
     *      1、从左往右扫描，如果是数字，直接入栈
     *      2、如果是 运算符，则 从栈中pop出2个数值进行计算。
     * @param suffixExpressionList
     * @return
     */
    public static int calculatorSuffixE(List<String> suffixExpressionList){
        // 创建 辅助栈
        Stack<String> stack = new Stack<>();
        
        // 遍历 suffixExpressionList
        for (String s : suffixExpressionList) {
            // 判断是不是 数字
            if(s.matches("\\d+")){  //使用正则表达式，比配多位数
                //入栈
                stack.push(s);
            }else {
                // 从栈中pop出两个数，进行运算，将结果存入栈中
                int num_1 = Integer.valueOf(stack.pop());
                int num_2 = Integer.valueOf(stack.pop());
                int res = 0;
                // 判断 操作符号
                if("+".equals(s)){
                    res = num_1 + num_2 ;
                }else if ("-".equals(s)){
                    res = num_2 - num_1 ;
                }else if ("*".equals(s)){
                    res = num_1 * num_2 ;
                }else if ("/".equals(s)){
                    res = num_2 / num_1 ;
                }else {
                    throw new RuntimeException("运算符不存在！");
                }
                stack.push(String.valueOf(res));
            }
        }

        // 最后将栈的结果 返回
        return Integer.parseInt(stack.pop());
    }


    // 测试类
    public static void main(String[] args) {

        // 直接输入 逆波兰表达式 , 对 逆波兰表达式进行计算
        String suffixExpression = "3 4 + 5 * 6 -";   // ==>  原表达式（中缀表达式）： （3+4）*5 -6
        List<String> suffixList = String2List(suffixExpression);

        // 直接输入 中缀表达式  ， 顶层会将  中缀表达式转换成 后缀表达式进行计算
//        String PrefixExpression = "( 3 + 4 ) * 5 - 6";
        String PrefixExpression = "( ( 2 + 3 ) * 4 )";
        List<String> PrefixList = String2List(PrefixExpression);
        List<String> prefixExpression2suffixExpressionList = PrefixExpression2suffixExpressionList(PrefixList);

        int res = calculatorSuffixE(suffixList);

        int res2 = calculatorSuffixE(prefixExpression2suffixExpressionList);

        System.out.println("计算结果 res  = " + res);
        System.out.println("计算结果 res2 = " + res2);
    }
}


class Operation {
    //编写一个类 Operation 可以返回一个运算符 对应的优先级
    private static int ADD = 1;
    private static int SUB = 1;
    private static int MUL = 2;
    private static int DIV = 2;

    //写一个方法，返回对应的优先级数字
    public static int getValue(String operation) {
        int result = 0;
        switch (operation) {
            case "+":
                result = ADD;
                break;
            case "-":
                result = SUB;
                break;
            case "*":
                result = MUL;
                break;
            case "/":
                result = DIV;
                break;
            default:
                //System.out.println("不存在该运算符" + operation);
                break;
        }
        return result;
    }