原码、反码、补码的由来和计算

     引言

     在软考教程第一章中有一节是数据表示。这一节介绍了原码、反码和补码，当时只是记住正负数的每个码的转换规则，却没有想一下为什么要用这么多形式的码来表示一个数据，也没有对三种码的转换进行总结，今天让我们来揭开奥秘！

一、机器数和真值：

1、  机器数

        各种数值在计算机中表示的形式称为机器数。特点是采用二进制计数制，数的符号用0和1表示，小数点则隐含，表示不占位置。

        例如：十进制数中的+3，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是-3，就是10000011。这里的00000011和10000011就是机器数。

2、  真值

        机器数对应的实际数值称为数的真值。

        例如：10000011是一个符号数。因为最高位1代表负，所以10000011代表的真值应该是-3，而不是转换成二进制数的131.

二、原码、反码、补码的概念和计算

       在探究各种码的由来之前，我们先来了解一下各种码的概念。这三种码都是机器存储一个具体数字的编码方式。

1、  原码

       原码是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号位，其余位表示值。例如如果是8位二进制：

       [+1]原 = 0000 0001

       [-1]原 = 0000 0001

      第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围是：[1111 1111 , 0111 1111]即[-127 , +127]。

      原码是人脑最容易理解和计算的表达方式。

 

2、  反码

       反码的计算方法是：正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反。

        [+1] = [00000001]原 = [00000001]反

        [-1] = [10000001]原 = [11111110]反

        可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值，通常要将其转换成原码再计算。

3、  补码

        补码的计算方法是：正数的补码是其本身，负数的补码是在原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。（即在反码的基础上+1）

        [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

        [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

        对于负数，补码表示方式也是人脑无法直接看出其数值的。通常也需要转换成原码再计算其数值。

 

三、原码、反码和补码的由来

       通过以上我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数，对于正数，由于三种编码方式的结果都相同：

        [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

       所以不需要过多的解释，但是对于负数：

       [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

        可见原码、反码和补码是完全不同的。既然刚才我们分析原码才是人脑直接识别并用于计算的表示方式，为什么还要有反码和补码呢？

       首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减。但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了。

        于是人们开始探索将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

        计算十进制的表达式:1-1=0

        1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 =[10000010]原 = -2

 如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

       为了解决原码做减法的问题,出现了反码:

        计算十进制的表达式:1-1=0

        1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [00000001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[00000000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。

 

        于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

 

      1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [00000001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

      这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[10000000]表示-128:

      (-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [11111111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

      -1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

       使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

        因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是:[-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

总结

        刚开始的时候我们只是单纯的了解了使用方法，却没有问过为什么。这样的学习是表面的。我们应该多给自己问一些问题，然后去研究和总结，这样我们才能不断深入的学习，编织知识网。今天这篇博客让我想到了《洪恩小乌龟》中的一个场景。里面的乌龟妈妈告诉Franklin，其实我们开始学每件事的时候都是一个copy cat。但是只要我们深入的研究，就会有新的发现！