证明：每个有n个顶点的连通图都至少有n-1条边 Show that every connected graph with n vertices has at least n − 1 edges.

Show that every connected graph with n vertices has at least n − 1 edges.
证明每个有n个顶点的连通图都至少有n-1条边

证明：不妨设G是无向连通图（若G为有向图，可忽略边的方向讨论对应的底图）。

设G中顶点为v1, v2, ..., vn。由连通性，必存在与v1相邻的顶点，不妨设其为v2（否则，可重新编号），连接v1与v2得边e1，还是由连通性，在v3, v4, ..., vn中必存在与v1或v2相邻的顶点，不妨设为v3，将其连接得边e2，续行此法，vn必与v1, v2, ..., vn-1中的某顶点相邻，得新边，由此可见G中至少有n-1条边。

 

而有关正整数n的命题通常可以用数学归纳法加以证明

归纳基础：0、1显然成立。

归纳假设：带有k个顶点的连通图至少具有k-1条边。

下面我们来证明带有k+1个顶点的连通图至少具有k条边。我们把k+1个顶点分成两部分，一部分含有k个顶点，一部分只有一个顶点，对于k个顶点的连通图我们知道它至少具有k-1条边，我们只需要这样构造：把那个孤立的顶点与k个顶点中的任何一个连接形成一条边，那么显然带有k+1个顶点的连通图至少具有k条边。