跳台阶问题（矩形覆盖问题）

跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

一个递归问题，我们可以这样想：

1. 对于一个n级台阶，假设有f(n)种跳法。
2. 如果第一次跳了1级，那么剩下n-1级就有f(n-1)种跳法
3. 如果第一次跳了2级，那么剩下n-2级就有f(n-2)种跳法

因为先后次序不同算不同结果，所以只有这两种方式，即f(n)=f(n-1)+f(n-2)种跳法。

递归出口：当n=1时，只有一种跳法；当n=2时，有两种跳法（1,1和2）。

Demo：

int jumpFloor(int number) 
{
    if (number <= 0) return -1;
    else if (number == 1) return 1;
    else if (number == 2) return 2;
    else return jumpFloor(number-1) + jumpFloor(number-2);
}

 

变态跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

在上个问题的基础上，增加了可以跳1-n级。

1. 对于一个n级台阶，假设有f(n)种跳法。
2. 如果第一次跳了1级，那么剩下n-1级就有f(n-1)种跳法
3. 如果第一次跳了2级，那么剩下n-2级就有f(n-2)种跳法
4. 如果第一次跳了3级，那么剩下n-3级就有f(n-3)种跳法
5. ……
6. 如果第一次跳了n级，那么剩下n-n级就有f(n-n)种跳法

所以f(n) = f(n-1) + f(n-2) + … + f(n-n) = f(0) + f(1) + … + f(n-1)

f(n-1) = f(n-1-1) + f(n-1-2) + … + f(n-1-n+1) = f(0) + f(1) + … + f(n-2)

所以 f(n) = 2 * f(n-1)

递归出口：当n=1时，只有一种跳法。

Demo：

int jumpFloorII(int number) 
{
    if (number <= 0) return -1;
    else if (number == 1) return 1;
    return 2 * jumpFloorII(number-1);
}

 

矩形覆盖问题

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

这个问题和跳台阶问题完全相同，我们只需要考虑大矩形的n那一边，而2那一边就算横着放，放俩就得了。

Demo同一。