ACM暑期集训9
今天依旧学习的是数论。
1.同余方程
同余：设 m 是正整数，若 a 和 b 是整数，且 m | (a - b)，则称 a 和 b 模 m 同余，记作 a ≡ b (mod m)。
一元线性同余方程：形如 ax ≡ b (mod m) 的同余式。
定理：设 d = gcd(a, m)，若 d | b，则该方程恰有 d 个模 m 不同余的解 x = x0 + (m / d)t，其中 x = x0 为一组特解，t = 0, 1, 2, ..., d-1，若 d 不能整除 b 则无解。
证明：上式等价于 ax - my = b，当 gcd(a, m) | b 时有无穷多解 x = x0 + (m / d)t，其中 x = x0 为一组特解。再证有 d 个模 m 不同余的解，若 x0 + (m / d)t1 ≡ x0 + (m / d)t2 (mod m)，则 (m / d)(t1 - t2) = km，两边同除以 (m / d)，得 t1 - t2 = kd，因此 t1 ≡ t2 (mod d)，这表明不同余的解可以由 t 取遍 0, 1, 2, ..., d - 1 得到。
LL solve(LL a, LL b, LL m) { //求ax ≡ b (mod m) 的最小解
LL x, y;
LL d = exgcd(a, m, x, y);
if(b % d == 0) {
x = x * (b / d);
x = (x % (m / d) + (m / d)) % (m / d);
return x;
}
else {
return -1; //无解
}
}
2.中国剩余定理
设 m1, m2, ..., mr 是两两互素的正整数，则同余方程组
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)
......
x ≡ ar (mod mr)
有模 M = m1m2 ... mr 的唯一解。
证明：令 Mk = M / mk，由 gcd(Mk, mk) = 1，可求得 Mk 模 mk 的一个逆 yk，构造 x = a1M1y1 + a2M2y2 + ... + arMryr，则 x ≡ akMkyk ≡ ak (mod mk)。再证有模 M 的唯一解，设 x1 和 x2 都是解，则对每个 k，有 x1 ≡ x2 ≡ ak (mod mk)，即 mk | (x1 – x2)，所以 M | (x1 – x2)，所以 x1 ≡ x2 (mod M)。
1）迭代法解同余方程组
一般地，先设 x = m0t + a0，其中 m0 = 1，a0 = 0，对于第 1~r 个同余方程，重复以下步骤：
①代入第 i 个同余方程，得到 m0t ≡ ai – a0 (mod mi)
②解出 t = mi’u + t0，其中 mi’ = mi / gcd(m0, mi)
③代入原方程得 x = m0(mi’u + t0) + a0
④先更新 a0 = m0t0 + a0，再更新 m0 = m0mi’
即使 m1, m2, ..., mr 不两两互素，只要同余方程是相容的，迭代法仍然可行。
LL a[MAXN], m[MAXN];
bool solve(LL &m0, LL &a0, int n) { //通解为 m0 * t + a0
m0 = 1; a0 = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) {
LL t, s, t0;
LL d = exgcd(m0, m[i], t, s);
if((a[i] - a0) % d != 0) return false;
t *= (a[i] - a0) / d;
t0 = (t % (m[i] / d) + (m[i] / d)) % (m[i] / d);
a0 += m0 * t0;
m0 *= (m[i] / d);
a0 %= m0;
}
return true;
}
3.欧拉函数
1）费马小定理：设 p 是一个素数，则对于任意整数 a，都有 ap ≡ a (mod p)，若 a, p 互素，则有 ap-1 ≡ 1 (mod p)。 证明： ap = ((a - 1) + 1)p = (a - 1)p + kp + 1
≡(a - 1)p + 1 (mod p)
≡(a - 2)p + 1 + 1 (mod p)
≡(a - 3)p + 1 + 1 + 1 (mod p)
......
≡1 + ... + 1 + 1 (mod p) = a
2）欧拉定理：设 n 是一个正整数，则对于任意整数 a，都有 aφ(n)+1 ≡ a (mod n)，若 a, n 互素，则有 aφ(n) ≡ 1 (mod n)。其中 φ(n) 为欧拉函数，定义为不超过 n 且与 n 互素的正整数的个数。
3）积性函数
算术函数：也称数论函数，定义在所有正整数上的函数。
积性函数：也称乘性函数，对任意两个互素的正整数 n 和 m，均有 f(mn) = f(m)f(n) 的算术函数。
完全积性函数：也称完全乘性函数，对任意两个正整数 n 和 m，均有 f(mn) = f(m)f(n) 的算术函数。
性质：若 n = p1γ1p2γ2 ... ptγt，则 f(n) = f(p1γ1)f(p2γ2) ... f(ptγt)
欧拉函数是积性函数
莫比乌斯函数是积性函数
4）欧拉函数的性质
若 n = p1γ1p2γ2 ... ptγt 则 φ(n) = φ(p1γ1)φ(p2γ2) ... φ(ptγt)
5）分解素因数求欧拉函数
时间复杂度 O（sqrt(n)）
LL eular(LL n) {
getFactors(n);
LL ret = n;
for(int i = 0; i < cnt; i++){
ret = ret / factor[i][0] * (factor[i][0] - 1);
}
return ret;
}6）分解素因数求欧拉函数（II）
LL eular(LL n) {
LL ans = n;
for(int i = 2; i <= n / i; i++) {
if(n % i == 0) {
ans -= ans / i;
while(n % i == 0) {
n /= i;
}
}
}
if(n > 1) ans -= ans / n;
return ans;
}7）筛选法求欧拉函数
int phi[MAXN+1];
void getEuler() {
memset(phi, 0, sizeof(phi));
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= MAXN; i++) {
if(!phi[i]) { // i是素数
for(int j = i; j <= MAXN; j += i) {
if(!phi[j]) {
phi[j] = j;
}
phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}
}
}
}
8）欧拉函数的应用
利用欧拉定理求逆元：当 a, n 互素时，模 n 下 a 的逆元可以由 a^(φ(n)-1) 求得。
欧拉降幂公式：当 b > φ(n) 时，a^b ≡ a^(b % φ(n) + φ(n) )(mod n)，这里不需要 a, n 互素。
4.非线性丢番图方程
定理：没有适用于求解所有非线性丢番图方程的通用方法。
常见的非线性丢番图方程：
①毕达哥拉斯三元组（勾股数）：x^2 + y^2 = z^2 当 gcd(x, y, z) = 1，则称该毕达哥拉斯三元组是本原的。
定理：x, y, z 构成本原毕达哥拉斯三元组（假设y为偶数） 当且仅当存在互素且奇偶性不同的正整数 m, n (m > n)，满足 x = m^2 - n^2, y = 2mn, z = m^2 + n^2。
②费马大定理：整数 n > 2 时，x^n + y^n = z^n 无非零整数解
③佩尔方程： x^2 - Dy^2 = 1
5.佩尔方程
形如 x2 - Dy2 = 1 的丢番图方程被称为佩尔方程。
当 D 为正整数且不是完全平方数时，该方程有无穷多解。
当 D 为完全平方数时，该方程无解。
定理：设 x1, y1 是方程的最小解，则所有正整数解 xk, yk 可由下式得到
最小整数解 x1, y1 的求法：D < 30 时暴力枚举，否则需要用到数论中的连分数
递推法求佩尔方程通解
对于 x^2 - Dy^2 = M，其中 M = ±1, ±2, ±4，若方程存在基本解 (x1, y1)，则有
Xn = C(Xn-1 - Xn-2) + Xn-3，
Yn = C(Yn-1 - Yn-2) + Yn-3，
当 M 为 1, 2, 4, -1, -2, -4 时，
C 分别为 2X1+1, 2X1^2-1, x1+1, 4X1^2+3, 2X1^2+3, X1^2+3，
所以佩尔方程在有解的情况下，往往可以递推求通解。