在canvas上绘制3d图形
项目简介
文章里有相当多的用到中学数学中的知识，推导3d的几何模型是如何绘制到2d平面中去的，最终利用推导出的结论编写代码，实现一个波纹的demo
转载自：https://www.jianshu.com/p/e3ebe08dddad
项目地址：https://github.com/zz632893783/canvas-3d
安装项目依赖模块
npm install
运行项目
npm run dev
从z轴观察yz平面上的点
想象一下有这么一个三维空间（如图），有一个点B，我们从A点观察B点。那么B点在xy平面上的投影即AB的延长线与平面xy的交点C。而xy平面不就是可以看一个二维的canvas画布吗。
我们暂且将A点放在z轴，B点放在yz平面，则A点的三维坐标可以表示为
A(0，0，zA)，B点的三维坐标可以表示为B(0，yB，zB)。从B点做一条垂线垂z轴于D点。
ADB与AOC是相似三角形，所以有
变换得
其中DB即B点的y坐标，AO即A点的z坐标，DO即B点的z坐标，所以
这里的OC也就是C点的y坐标。
从z轴观察xz平面上的点
同理我们从A点观察平面xz上的某一点E(xE，0，zE)，ADE与AOF是相似三角形
变换得
从z轴观察空间内任意坐标
之前所观测的B点是位于yz平面内，E点是位于xz平面内，但是如果是空间内任意位置的点呢
其实道理都是一样的，如下如
如果将直线BD平移到E点，直线DE平移到B点，那么将形成一个矩形DBGE，矩形DBGE在xy平面上的投影为矩形OCHF。
由于AGE与AHF相似，所以有
并且由于ADE与AOF也是相似三角形，所以
所以
推导得
其中GE也就是G点的y坐标，因为矩形DBGE是平行于xy平面的，所以它们z坐标相同，DO等价于G点的z坐标，所以对于空间内任意位置G(xG，yG，zG)
同样的方法我们可以推导出
变换得
结合上两步，CH是H点的x坐标，HF是H点的y坐标，所以从轴上的点A(0，0，zA)观察空间内任意位置G(xG，yG，zG)在平面xy上的投影可表示为
从任意位置观察空间内任意坐标
沿着x轴平移坐标系
之前的推论到从z轴观察空间内任意位置的投影了，但是实际上A点是有特殊性的，因为它是位于z轴上的某一个点，其xy坐标都为0，如果A是空间内的任意一个点，情况又如何，请看下图
假设这个时候真正的坐标系是xy'z'，而坐标系xyz是我们临时所建立的一个虚拟的坐标系，那么这个时候A点相对于坐标系xy'z'来说，坐标点可表示为A(xA，0，zA)，G点依旧表示为(xG，yG，zG)
我们之前推导的相似三角形的关系，即使换了坐标系，它们的关系依然成立，所以
变换得
只不过这个时候 BG=xG-xA，AO与DO与之前相同
求得
之前推导出的相似三角形关系依旧成立，所以
变换得
由于GE，AO，DO与之前相比都没有变化，
所以得
与之前的推导一致，最后我们得出结论，我们沿着x轴方向移动坐标系的时候（即图中的坐标系有xy'z'移动到了xyz位置），G点在平面xy的投影H点的y坐标不会有变化，但是x坐标为
沿着y轴平移坐标系
如下图
假设x'yz'是真正的坐标系，沿着y轴平移得到临时坐标系xyz，推导步骤和之前的相同，这里不再赘述，直接贴结果
也就是说当沿着y轴方向移动坐标系的时候，投影H的x坐标不会有变化，y坐标变为
对于空间内任意位置
对于空间内任意位置，我们都可以看成是在z轴上的某一点A(0，0，zA)，先经历一次x轴方向的平移（此时投影H的y坐标不变），再经历一次y轴方向的平移（此时投影H的x坐标不变），平移之前点A观察到点G的投影H坐标可表示为
对其进行x轴方向的平移，（此时投影H的y坐标不变），H的坐标可表示为
再对其进行y轴方向的平移，（此时投影H的x坐标不变），H的坐标可表示为
最终结论
从空间内的任意点A(xA，yA，zA)观察空间内的任一点G(xG，yG，zG)，它在xy平面内的投影H的坐标为
首先我们尝试写一个简单的几何图形
立方体边长为100，则A(-50，50，50)，B(-50，50，-50)，C(50，50，-50)，D(50，50，50)，E(-50，-50，50)，F(-50，-50，-50)，G(50，-50，-50)，H(50，-50，50)，假定从z轴上某一点(0，0，300)观察
绘制方法也很简单，分别绘制矩形ABCD，矩形EFGH，然后再将AE,BF,CG,DH连线即可，只不过这里的ABCDEFGH点需要换算成投影在三维坐标系xy平面上的点，运用我们之前得出的结论，我们定义一个转换坐标点的函数
transformCoordinatePoint: function (x, y, z, offsetX = this.canvasWidth / 2, offsetY = this.canvasHeight / 2) {
return {
x: (x - this.visual.x) * this.visual.z / (this.visual.z - z) + offsetX,
y: (y - this.visual.y) * this.visual.z / (this.visual.z - z) + offsetY
}
}
然后编写draw函数
draw: function () {
let point
this.ctx.clearRect(0, 0, this.canvasWidth, this.canvasHeight)
// 绘制矩形ABCD
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.A)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.B)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.C)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.D)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.closePath()
this.ctx.stroke()
// 绘制矩形EFGH
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.E)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.F)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.G)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.H)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.closePath()
this.ctx.stroke()
// 绘制直线AE
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.A)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.E)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.stroke()
this.ctx.closePath()
// 绘制直线BF
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.B)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.F)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.stroke()
this.ctx.closePath()
// 绘制直线CD
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.C)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.G)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.stroke()
this.ctx.closePath()
// 绘制直线DH
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.D)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.H)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.stroke()
this.ctx.closePath()
}
查看代码运行结果
似乎是对的，但是有感觉怪怪的，我们尝试将立方体绕着y轴旋转
这里需要另一个数学关系的推导
想象一下从y轴俯视yz平面，这个时候点D的位置关系如下图
这个时候假定D点与x轴的夹角是α，圆的半径为R，将D点绕着y轴旋转β旋转至D'点，这个时候D'与x轴夹角为α+β，此时D'的x坐标为cos(α+β)R，D'的z坐标为sin(α+β)R
回一下中学时候我们学过的三角形倍角公式
D'的x坐标cos(α+β)R=Rcosαcosβ-Rsinαsinβ
D'的z坐标sin(α+β)R=Rsinαcosβ+Rcosαsinβ
而Rsinα就是旋转之前D点的z坐标，Rcosα就是旋转之前D点的x坐标，
D'的x坐标为xcosβ-zsinβ
D'的z坐标为zcosβ+xsinβ
将结论代入到我们的立方体的8个顶点ABCDEFGH中
对于任一点D(xD，yD，zD)，其绕y轴旋转β角的时候，它的三维坐标变为(xDcosβ-zDsinβ，yD，zDcosβ+xDsinβ)
转换为代码
methods: {
init: function () {
this.ctx = this.$refs.cube.getContext('2d')
},
transformCoordinatePoint: function (x, y, z, offsetX = this.canvasWidth / 2, offsetY = this.canvasHeight / 2) {
return {
x: (x - this.visual.x) * this.visual.z / (this.visual.z - z) + offsetX,
y: (y - this.visual.y) * this.visual.z / (this.visual.z - z) + offsetY
}
},
draw: function () {
let point
this.ctx.clearRect(0, 0, this.canvasWidth, this.canvasHeight)
// 绘制矩形ABCD
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.A)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.B)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.C)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.D)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.closePath()
this.ctx.stroke()
// 绘制矩形EFGH
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.E)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.F)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.G)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.H)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.closePath()
this.ctx.stroke()
// 绘制直线AE
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.A)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.E)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.stroke()
this.ctx.closePath()
// 绘制直线BF
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.B)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.F)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.stroke()
this.ctx.closePath()
// 绘制直线CD
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.C)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.G)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.stroke()
this.ctx.closePath()
// 绘制直线DH
this.ctx.beginPath()
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.D)
this.ctx.moveTo(point.x, point.y)
point = this.transformCoordinatePoint(...this.pointMap.H)
this.ctx.lineTo(point.x, point.y)
this.ctx.stroke()
this.ctx.closePath()
},
animationFrame: function () {
let rotationAngle = 1
window.requestAnimationFrame(() => {
for (let key in this.pointMap) {
let point = this.pointMap[key]
// 保存x,y,z坐标
let x = point[0]
let y = point[1]
let z = point[2]
// 变换后的x坐标
point[0] = x * Math.cos(rotationAngle / 180 * Math.PI) - z * Math.sin(rotationAngle / 180 * Math.PI)
// 绕y轴旋转，y左边不会发生变化
point[1] = y
// 变换后的z坐标
point[2] = z * Math.cos(rotationAngle / 180 * Math.PI) + x * Math.sin(rotationAngle / 180 * Math.PI)
}
this.draw()
this.animationFrame()
})
}
},
mounted: function () {
this.init()
this.animationFrame()
}
代码运行效果
绘制波浪
波浪是由若干条正弦函数组成的，我们先绘制一条正弦函数
中学数学中，描述一条正弦函数的方程式 y=a*sin(b * x + c) + d，所以我们构造一个类，需要的参数也是a，b，c，d，为了确定函数的起始位置和结束位置，另外需要两个参数start，end
class Line {
constructor (a, b, c, d, start, end) {
this.a = a
this.b = b
this.c = c
this.d = d
this.start = start
this.end = end
}
}
export default Line
实际上每条正弦函数曲线并不是真正的连线，而是由于一个个点组成，我们在增加一个参数，确定每个点之间的间距，并在实例化的时候生成这些点，我们这里保存在pointList中
class Line {
constructor (a, b, c, d, start, end, gap) {
this.a = a
this.b = b
this.c = c
this.d = d
this.start = start
this.end = end
this.gap = gap
this.pointList = []
this.computePointList()
}
computePointList () {
this.pointList = []
for (let i = this.start; i <= this.end; i = i + this.gap) {
let x = i
let y = this.a * Math.sin((this.b * x + this.c) / 180 * Math.PI) + this.d
this.pointList.push({
x,
y
})
}
}
}
export default Line
在页面中，Line实例保存在lineList中，遍历lineList绘制点
看一下代码效果
我们再试着让它动起来，波浪的运动改变的实际上是每个点的纵坐标，只要我们知道每个点距离原点的偏移量，我们就能计算出当前的纵坐标，所以我们在生成点的时候，记录偏移量，我们我们声明一个updatePointList方法用以跟新点的位置
computePointList () {
this.pointList = []
for (let i = this.start; i <= this.end; i = i + this.gap) {
let x = i
let y = this.a * Math.sin((this.b * x + this.c) / 180 * Math.PI) + this.d
let offset = i
this.pointList.push({
x,
y,
offset
})
}
}
updatePointList () {
this.pointList.forEach(item => {
item.y = this.a * Math.sin((this.b * item.x + this.c + item.offset) / 180 * Math.PI) + this.d
})
}
在页面中，我们定义一个变量lineOffset，通过调整它控制line实例的c值（也就是对直线进行平移），并不断地调用之前写好的updatePointList方法，更新点的位置
animationFrame: function () {
window.requestAnimationFrame(() => {
this.lineList.forEach(line => {
line.c = this.lineOffset
line.updatePointList()
})
this.lineOffset = this.lineOffset + 1
this.draw()
this.animationFrame()
})
}
代码运行效果
但是这个只是二维平面的，想象一下空间中有很多条这样的直线，然后有的直线离屏幕比较近，有的离屏幕比较远，所以我们如果在三维空间中描述直线的话，我们还需要知道三维坐标系中的z坐标，除此之代直线的x，z与之前的相比并无变化
constructor (a, b, c, d, z, start, end, gap) {
this.a = a
this.b = b
this.c = c
this.d = d
this.z = z
this.start = start
this.end = end
this.gap = gap
this.pointList = []
this.computePointList()
}
我们之前已经推导过，对于任一点D(xD，yD，zD)，其绕y轴旋转β角的时候，它的三维坐标变为(xDcosβ-zDsinβ，yD，zDcosβ+xDsinβ)，想象一下我们直线上的每一个点，其实都是绕着y轴旋转的，旋转之后y轴的坐标不会发生变化，然后看我们原型中声明的updatePointList方法
updatePointList () {
this.pointList.forEach(item => {
item.y = this.a * Math.sin((this.b * item.x + this.c + item.offset) / 180 * Math.PI) + this.d
})
}
y轴的坐标我们之前已经写好了，我们运用(xDcosβ-zDsinβ，yD，zDcosβ+xDsinβ)推导每个点旋转β角后的坐标位置
updatePointList (rotationAngleSpeed) {
this.pointList.forEach(item => {
let x = item.x
let z = item.z
item.x = x * Math.cos(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI) - z * Math.sin(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI)
item.z = z * Math.cos(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI) + x * Math.sin(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI)
})
}
代码运行效果
但是此时的粒子并没有沿着y轴方向移动，我们将两步结合
updatePointList (rotationAngleSpeed, visual) {
this.pointList.forEach(item => {
let x = item.x
let y = item.y
let z = item.z
item.x = x * Math.cos(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI) - z * Math.sin(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI)
item.z = z * Math.cos(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI) + x * Math.sin(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI)
item.y = this.a * Math.sin((this.b * x + this.c + item.offset) / 180 * Math.PI) + this.d
})
}
然后我们看一下运行结果
非常的怪异，我们似乎哪里写错了
回过头来看我们的代码，波纹的左右移动实际上是靠从新计算每个点的y坐标实现，而计算y坐标我们用的函数是
item.y = this.a * Math.sin((this.b * x + this.c + item.offset) / 180 * Math.PI) + this.d
但是我们实际上每计算一次item.y的值，我们通过控制this.c来实现平移，所以除了this.c之外，
this.a * Math.sin((this.b * x + this.c + item.offset) / 180 * Math.PI) + this.d
中的 this.a，x（这里的x也就是item.x），this.b，item.offset，this.d都不应该有变化，但是我们代码中的
item.x = x * Math.cos(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI) - z * Math.sin(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI)
却在不停地变化item.x的值，所以我们需要保存一份最开始时时候的x值
computePointList () {
this.pointList = []
for (let i = this.start; i <= this.end; i = i + this.gap) {
let x = i
let y = this.a * Math.sin((this.b * x + this.c) / 180 * Math.PI) + this.d
let offset = i
this.pointList.push({
x,
y,
z: this.z,
originX: x,
offset
})
}
}
updatePointList (rotationAngleSpeed, visual) {
this.pointList.forEach(item => {
let x = item.x
let y = item.y
let z = item.z
item.x = x * Math.cos(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI) - z * Math.sin(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI)
item.z = z * Math.cos(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI) + x * Math.sin(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI)
item.y = this.a * Math.sin((this.b * item.originX + this.c + item.offset) / 180 * Math.PI) + this.d
})
}
继续看运行效果
虽然代码是对的，但是这个时候的这些点还只是平面上的点，并没有3d效果，我们回到最开始推导出的结论
从空间内的任意点A(xA，yA，zA)观察空间内的任一点G(xG，yG，zG)，它在xy平面内的投影H的坐标为
我们顶一个个观察点
visual: {
x: 0,
y: -100,
z: 1000
}
并在每次updatePointList方法中调用它，计算这个点在平面xy上的投影位置
animationFrame: function () {
window.requestAnimationFrame(() => {
this.lineList.forEach(line => {
line.c = this.lineOffset
line.updatePointList(this.rotationAngleSpeed, this.visual)
})
this.lineOffset = this.lineOffset + 1
this.draw()
this.animationFrame()
})
}
在updatePointList函数中，我们拿到传入的视角点visual，并根据视角点计算空间内的点在平面xy上的投影，我们记为(canvasX，canvasY)
updatePointList (rotationAngleSpeed, visual) {
this.pointList.forEach(item => {
let x = item.x
let y = item.y
let z = item.z
item.x = x * Math.cos(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI) - z * Math.sin(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI)
item.z = z * Math.cos(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI) + x * Math.sin(rotationAngleSpeed / 180 * Math.PI)
item.y = this.a * Math.sin((this.b * item.originX + this.c + item.offset) / 180 * Math.PI) + this.d
item.canvasX = (item.x - visual.x) * visual.z / (visual.z - z)
item.canvasY = (item.y - visual.y) * visual.z / (visual.z - z)
})
}
由于我们现在是要绘制投影的坐标，所以我们的draw方法中的绘制圆点的方法需要换成(canvasX，canvasY)
draw: function () {
this.ctx.clearRect(0, 0, this.canvasWidth, this.canvasHeight)
this.lineList.forEach(line => {
line.pointList.forEach(item => {
this.ctx.beginPath()
this.ctx.arc(item.canvasX + this.canvasWidth / 2, item.canvasY + this.canvasHeight / 2, 2, 0, 2 * Math.PI)
this.ctx.closePath()
this.ctx.fill()
})
})
}
运行结果
然后我们试着加入更多的线条
lineList: [
new Line(20, 2, 0, 0, -150, -200, 200, 10),
new Line(20, 2, 0, 0, -120, -200, 200, 10),
new Line(20, 2, 0, 0, -90, -200, 200, 10),
new Line(20, 2, 0, 0, -60, -200, 200, 10),
new Line(20, 2, 0, 0, -30, -200, 200, 10),
new Line(20, 2, 0, 0, 0, -200, 200, 10),
new Line(20, 2, 0, 0, 30, -200, 200, 10),
new Line(20, 2, 0, 0, 60, -200, 200, 10),
new Line(20, 2, 0, 0, 90, -200, 200, 10),
new Line(20, 2, 0, 0, 120, -200, 200, 10),
new Line(20, 2, 0, 0, 150, -200, 200, 10)
]
运行结果
我们试着再对每条直线作不同的平移，我们平移直线是通过line构造函数中的参数c控制的，在animationFrame方法中
animationFrame: function () {
window.requestAnimationFrame(() => {
this.lineList.forEach((line, index) => {
line.c = this.lineOffset
line.updatePointList(this.rotationAngleSpeed, this.visual)
})
this.lineOffset = this.lineOffset + 1
this.draw()
this.animationFrame()
})
}
line.c是被赋值为this.lineOffset，所以我们看到每条直线的偏移量都是一致的，我们试着修改代码，使每条直线的偏移量不一致
animationFrame: function () {
window.requestAnimationFrame(() => {
this.lineList.forEach((line, index) => {
line.c = this.lineOffset + index * 30
line.updatePointList(this.rotationAngleSpeed, this.visual)
})
this.lineOffset = this.lineOffset + 1
this.draw()
this.animationFrame()
})
}
代码运行结果
实际上我们还忽略了一个点，那就是点的远近大小关系，真实情况应该是离我们屏幕较近的点，看起来更大，离屏更远的点，看起来更小，而离屏幕的距离不就是z的坐标吗
我们回到最开始推论的那副图
在A点观察直线DB在平面xy内的投影OC，由相似三角形可知
推导得
所以假定小圆点的半斤是R，站在A(0，0，)点观测小圆点位于平面xy上投影的半径为
我们将draw方法中的代码做修改
draw: function () {
this.ctx.clearRect(0, 0, this.canvasWidth, this.canvasHeight)
this.lineList.forEach(line => {
line.pointList.forEach(item => {
this.ctx.beginPath()
// 暂且假定小圆点的原始半径是2,则投影半径可表示为
let pointSize = 2 * this.visual.z / (this.visual.z - item.z)
this.ctx.arc(item.canvasX + this.canvasWidth / 2, item.canvasY + this.canvasHeight / 2, pointSize, 0, 2 * Math.PI)
this.ctx.closePath()
this.ctx.fill()
})
})
}
运行效果
我们不断调整实例化时候line的各个参数，最终实现效果
到此，请记住这篇文章最重要的一个结论
从空间内的任意点A(xA，yA，zA)观察空间内的任一点G(xG，yG，zG)，它在xy平面内的投影H的坐标为
如果以后还有与canvas绘制3d图形有关的文章，这个结论会一直用到