codeforces 992E. Nastya and King-Shamans

树状数组 二分

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题目大意： 维护一个数列，每次操作为先修改一个数，再询问是否存在一个位置$i$满足$w[i]=sum[i-1]$并输出这个位置。

妙蛙

问题要求出满足 $A_x=su{m}_{x-1}$ 的位置，这个可以转化为 $su{m}_x=2su{m}_{x-1}$

我们考虑从 $A_p=1$ 开始跳，每一次跳到其后面一个最小的 $k-1$ ，满足$su{m}_k\ge 2su{m}_p$

可以证明如果有答案且 $su{m}_{ans}>0$，那么答案一定在所有的 $k$ 之中产生

不妨用反证法来证明，假设当且跳到点 $k$ ，接下来选取的点是 $k\prime (k<k\prime )$，对于 $k<i<k\prime -1$

如果说 $i$ 是答案的话，设 $y$ 为 第一个满足 $su{m}_y\ge 2su{m}_i$ 的点。

因为$su{m}_y\ge su{m}_k$ 所以必然有 $y\ge k\prime$ ，如果 $i<k\prime -1$ 那么 $y-i>1$ ,i 不是答案

所以证明了这样跳，如果有答案的话答案必然在跳到的点上

所以可以用树状数组维护前缀和，每一次暴力二分跳，跳 $log$ 次就能跳完，总复杂度是$O(nlo{g}^{3}n)$

------Mangoyang

代码：

#include
#include
#include
#include
#define N 200005
#define F inline
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,q,a[N]; LL t[N];
F char readc(){
	static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
	if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
	return l==r?EOF:*l++;
}
F int _read(){
	int x=0; char ch=readc();
	while (!isdigit(ch)) ch=readc();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=readc();
	return x;
}
F void mdfy(int x,LL w){ for (;x<=n;x+=x&-x) t[x]+=w; }
F LL srch(int x){ LL s=0; for (;x;x-=x&-x) s+=t[x]; return s; }
F int pd(int x){
	int l=x+1,r=n,ans=x,mid; LL s=srch(x)<<1;
	while (l<=r)
		if (srch(mid=l+r>>1)<s) ans=mid,l=mid+1;
		else r=mid-1;
	return ans;
}
F int calc(){
	if (!t[1]) return 1;
	for (int x=1;x<n;x=max(x+1,pd(x)))
		if (srch(x+1)==srch(x)<<1) return x+1; 
	return -1;
}
int main(){
	n=_read(),q=_read();
	for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=_read(),mdfy(i,a[i]);
	for (int p,x;q;q--)
		p=_read(),x=_read(),mdfy(p,x-a[p]),a[p]=x,printf("%d\n",calc());
	return 0;
}