排序算法

排序算法

排序算法有好多，比如冒泡排序、插入排序、归并排序、堆排序、快速排序、希尔排序、计数排序、桶排序等等，下面我对各种排序的原理和优缺点进行介绍。

• 冒泡排序

冒泡排序是排序算法中最简单的，其原理是每次遍历所有没有排好序的元素一遍，找到最大值（最小值），将无序的第一个元素和最大值交换，原理如下：

分析冒泡排序的时间复杂度:

• 插入排序

插入排序由名字就可以知道，就是将无序的序列一个一个插入到有序的序列中。其原理和拿牌差不多，我们拿牌的时候是一张一张从牌低拿到手里面的，我清牌的原理是每拿到一张牌，我就将其放到其当前正确有序的位置，当牌拿完了，手里的牌就清好了。不懂的话你再想想你打牌时候怎么清牌，大部分人都采用这种方法。下面来看其具体的过程。

由上可知，当插入元素和排好序的元素相等时，将插入元素放到该元素的后面，所以插入排序是稳定的。下面计算一下插入排序的时间复杂度，时间复杂度的计算都是最坏情况下的时间复杂度，当初始元素序列是按照逆序排列的，这时候所需要的时间复杂度最高为。

• 并归排序

并归排序其原理是将一个无序的序列分成若干组，然后将该若干组在组内排好序后，组间进行合并，合并后的组依然是排好序的，当将所有的小组都合并完后，合并后的序列就排好序了。打个比喻，假如你们学院要打一场篮球赛，怎么才能比较快的打完这场篮球赛并且把名次给分出来呢？？不用说肯定是先把所有队伍分成若干个小组，打小组赛，然后层层晋级最后把得到名次，并归排序的原理就是这样。下面来看并归排序的具体过程：

该过程只要分为三个部分：分解，排序，合并。通过这三步我们来分析并归排序的时间复杂度：因为合并操作需要的时间，所以递归表达式如下：

通过主方法可以得到并归排序的时间复杂度为。

• 堆排序

堆排序是建立在堆的概念上的，可以看做是一棵完全二叉树。最大堆的性质是所有的父节点的值都大于该节点，同样最小堆的性质是所有父节点的值都小于该节点。利用最大堆和最小堆可以对无序的数进行两种方式的排序。

对于堆排序的原理，本质上最小堆和最大堆是一种数据结构，由于其特殊性，所以用来排序。简单来说，由最小堆的性质可以知道，堆的根节点必然是所有元素的最小值，所以可以将该元素取出，放入数组中（这里仅仅理解成放入另外数组，实质上该元素还在堆内），取出后需要对最小堆的性质进行维护，维护后的最小堆的根节点还是当前所有元素的最小值，重复上述操作，1.取最小值2.维护堆性质，最后数组中的数据就按照从小到大排序好了。下面来看看具体的过程：

上图中是按照最大堆从大到小排序，将根节点一个一个取出，而后在维护堆的性质。因为每次维护堆的性质需要 的时间，有n个元素需要取出，所以堆排序的时间复杂度为。

• 快速排序

在所有的排序算法中，快速排序用的是最多的，c++里面sort排序的算法用的就是快排。快排有点有好多，比如平均性能好，换句话说就是平均复杂度其他算法要好，但是缺点是不稳定。不稳定的意思就是该算法对于一些序列时间复杂度非常低，但是有些序列时间复杂度和冒泡差不多。下面介绍一下快速排序的过程：简单的说就是，取无序序列中一个元素作为关键字，然后利用该关键字将所有元素分成两个小组，左边的元素都比关键字小，右边元素都比关键字大（一般而言我们去第一个元素作为关键字）。而后将左边小组和右边小组重复上述操作，当小组中只有两个元素时，结束排序。具体过程如下：

分析可以知道，快速排序的递归式如下：

通过该递归式可知，该算法的最坏时间复杂度为，但是这并不影响该算法的平均性能，期望运行时间为。

• 希尔排序

希尔排序的原理也是采用分组，只不过分组的形式不同而已。具体是选择一个步距d，按照这个步距将无序元素分成若干组。假设d=4，则1,5,9.。。等元素为一组；2,6,10.。。等元素为一组，依次类推。当然进行下一次排序的时候就需要对d的值进行改变，d=d/2，直到d=1时完成排序。过程如下：

可以看出该算法排序的时间复杂度和d的取值有关，但是目前没有选取最好d的方法。所以该方法是十分不稳定的，时间复杂度可能很好，也可能很差。

• 计数排序
  

计数排序是一个很神奇的排序算法，之所以说它神奇，是因为你不知道它为什么可以，但是就是排好序了，而且效果还很不错。通过本质看现象，有书上说计数排序是一种线性的排序算法，我觉得这有些误导，其本质不是线性的，该算法时间复杂度为，u代表最大值与最小值之间的范围，不是元素的个数，所以我说该算法不是线性的，而且该算法是牺牲了空间复杂度来换取时间复杂度的，所以桶排序适合于元素比较密集的时候使用，不然还不一定有冒泡排序性价比高。由于计数排序的原理实在神奇，下面聊聊它的具体过程吧：

假设排序序列为4、1、3、4、3，存入数组中，则有：

由数组A可以得到数组C:

C数组中的值为A中元素出现的次数，C1'数组表示前n个数的和：

当n=5时，A[5]=3,C1'[3]=3,所以B[3]=3:

同时更新C1'的数据，相应位减1：

当n=4时，A[4]=4,C1'[4]=4,所以B[4]=5:

直到n=1时，得到排序后的数组B：

计数排序过程如上，看完整个过程我也是一脸懵逼的，但是人家确实实现排序了，时间复杂度也很好。所以原理就不讲了，知道过程就行。

• 桶排序

桶排序的原理是啥？？简单来说，该算法就是普通排序和分组的融合出来的一个算法。假设由100个数，这100个数的范围是0~1000,则可以产生100个区间，相当于100个桶，每个区间是10，然后将100个数分别放在桶里，然后分布在桶里面的元素可以通过快速排序来对其进行排序，最后合并就可以得到排好序的序列。

就是这样简单。

• 分析

稳定性

排序算法的稳定性:若待排序的序列中，存在多个具有相同关键字的记录，经过排序， 这些记录的相对次序保持不变，则称该算法是稳定的；若经排序后，记录的相对 次序发生了改变，则称该算法是不稳定的。 

 稳定性的好处：排序算法如果是稳定的，那么从一个键上排序，然后再从另一个键上排序，第一个键排序的结果可以为第二个键排序所用。基数排序就是这样，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其顺序再高位也相同时是不会改变的。另外，如果排序算法稳定，可以避免多余的比较。

稳定的排序算法：冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序

不是稳定的排序算法：选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序

总结

一般情况下，排序算法需要根据实际情况选择，如果数据量不大，我们可以选择插入或者并归排序，数据量较大时，我们选择快速排序、堆排序。桶排序主要在数据均匀分布的情况下，计数排序用于数据比较密集的情况下。