[背包DP] 洛谷相关题目整理与练习（74题-）

题目

以背包为标签，搜出了这么多题，按难度排序，一道一道做：
(*)：下面有提到

TODO	题目	难度	备忘录
AC	采药	普及-	01背包模板
AC	开心的金明	普及-	01背包模板
AC	小A点菜	普及-	背包方案数问题
AC	NASA的食物计划	普及-	简单的二维费用背包
AC	疯狂的采药	普及-	完全背包问题
AC	通天之分组背包	普及-	分组背包模板
AC	神奇的四次方数	普及-	简单的判断型完全背包（*）
AC	最大约数和	普及-	简单的01背包+预处理
AC	A+B Problem（再升级）	普及-	完全背包方法数（*）
AC	[HAOI2012]音量调节	普及-	刷表法的多阶段决策问题
AC	小书童——刷题大军	普及-	两个01背包
AC	三角形牧场	提高-	01背包，已知推未知的状压DP
AC	搭配购买	提高-	连通块的01背包（*）
AC	集合 Subset Sums	提高-	二维费用方法数（*）
AC	积木城堡	提高-	倒的01背包：背包刷表法
AC	投资的最大效益	提高-	背包的实际应用：多阶段的多个多重背包（*）
AC	魔术棋子	提高-	多阶段决策，过程取模
AC	机器分配	提高-	多阶段决策的最小字典序最优方案
	yyy2015c01的U盘	提高-
	邮票 Stamps	提高-
	奶酪塔	提高-
AC	金明的预算方案	提高	简单的依赖背包，靠枚举
AC	烹调方案	提高	价值变换的背包
	选学霸	提高
	哞哞哞Mooo Moo	提高
	虫洞Wormholes	提高
	牛的过山车	提高
	股票市场	提高
	拖拉机Tractor	提高
	赛斯石（赛后强化版）	提高
	不开心的金明	提高
AC	垃圾陷阱	省选-	复杂二维费用，状态定义与转移问题
AC	多米诺骨牌	省选-	抽象出来凑差值的01背包
	宝物筛选	省选-
	飞扬的小鸟	省选-
	产品加工	省选-
	计算器写作文	省选-
	豪华游轮	省选-
	商店购物	省选-
	最少的硬币	省选-
	挤奶的时间	省选-
	小Q的棋盘	省选-
	Eden 的新背包问题	省选-
	挂饰	省选-
	消失之物	省选-
	采摘毒瘤	省选-
	小A的时钟	省选
	语文-理理思维	省选
	梦幻岛宝珠	省选
	星空	省选
	魔兽地图	省选
	粉刷匠	省选
	基因匹配	省选
	苹果树	NOI+
	付公主的背包	NOI+
	秘密袭击coat	NOI+

PASS掉的其它的题：
（大概就是很简单或者重复的题目类型，有限的人生就不浪费在这些水题上了）

TODO	题目	难度	备忘录
PASS	混合牛奶	普及-	01背包模板
PASS	扑克牌	普及-	数学题
PASS	总分 Score Inflation	普及-	USACO的01背包模板
AC	L国的战斗之间谍	普及-	简单的二维费用
PASS	kkksc03考前临时抱佛脚	普及-	不像是背包
PASS	Bessie的体重问题	普及-	01背包模板
PASS	手链	普及-	01背包模板
PASS	干草出售	普及-	01背包模板
AC	榨取kkksc03	提高-	简单的二维费用
PASS	精卫填海	提高-	简单的01背包
PASS	樱花	提高-	混合背包
AC	[AHOI2001]质数和分解	提高-	重复，同A+B升级版
PASS	珍珠配对	提高-	没有spj
PASS	跨河	提高-	不适合用背包做
PASS	买干草	提高-	裸完全背包
PASS	牛飞盘队	提高-	01背包方法数裸题
PASS	购买巧克力	提高-	贪心题

理解

神奇的四次方数

LP1679
刚开始以为是01背包，然后就WA了，然后发现题目并没有对某一物品的使用次数进行限制。所以这里要注意，背包问题读题时的一个问题，就是应该抠字眼扣清楚每个物品使用次数，来区分各种背包模型。

A+B Problem（再升级）

1.给定一个正整数n，求将其分解成若干个素数之和的方案总数。
这题都能爆int你敢信？。。
当n=1000时，方案数为48278613741845757。
所以长点心。。这种很迷的数学题要经常记得用longlong。


2.简单的验证素数方法：

bool flag = true;
        for (int i = 2; i <= trunc(sqrt(num)); i++)
            if (num % i == 0) flag = false;
// trunc:小数去尾并变成int

[HAOI2012]音量调节

LP1877
本题用的是刷表法，用d[i][j]来更新d[i+1][j+v]和d[i+1][j-v]。由于决策往前往后的都用，不能确定滚动数组的枚举顺序。硬要用滚动数组的话，可以用一个二维的滚动数组。

搭配购买

P1455，连通块01背包，代码放这以供参考。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const int maxn = 10000 + 10;
vector<int> edge[maxn];
int n, m, c, v[maxn], w[maxn], cc, nv[maxn], nw[maxn], vis[maxn], d[maxn];

void dfs(int u, int cnt) {
    nv[cnt] += v[u];
    nw[cnt] += w[u];
    vis[u] = 1;
    for(vector<int>::iterator iter = edge[u].begin(); iter!=edge[u].end(); ++iter)
        if (!vis[*iter]) {
            dfs(*iter, cnt);
        }
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &c);
    _rep(i, 1, n) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    int u, v;
    _for(i, 0, m) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        edge[u].push_back(v);
        edge[v].push_back(u);
    }

    cc = 0;
    _rep(i, 1, n)
        if (!vis[i])
            dfs(i, cc++);

    _for(i, 0, cc)
        for (int j = c; j >= nv[i]; j--)
            d[j] = max(d[j], d[j - nv[i]] + nw[i]);

    printf("%d\n", d[c]);

    return 0;
}

集合

LP1466
小题的细节问题：即便是这样简单题，也应该写对拍。
错误代码：（n=5时，返回1）

int main() {
    scanf("%d", &n);
    d[0][0] = 1;
    int s = n * (n + 1) / 4;
    _rep(i, 1, n)
        for (int j = s; j >= 0; j--)
            for (int k = s; k >= 0; k--) {
                if (j >= i)
                    d[j][k] += d[j - i][k];
                if (k >= i)
                    d[j][k] += d[j][k - i];
            }

    printf("%lld\n", d[s][s] / 2);
    return 0;
}

正确代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define ll long long
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 10;
int n;
ll d[maxn][maxn];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    d[0][0] = 1;
    int s = n * (n + 1) / 4;
    if (n*(n + 1) == s * 4) {
        _rep(i, 1, n)
            for (int j = s; j >= 0; j--)
                for (int k = s; k >= 0; k--) {
                    if (j >= i)
                        d[j][k] += d[j - i][k];
                    if (k >= i)
                        d[j][k] += d[j][k - i];
                }

        printf("%lld\n", d[s][s] / 2);
    }
    else {
        printf("0\n");   // 无法成功二分，自然方案数为0
    }

    return 0;
}

投资的最大效益

LP1853
本题可以说是背包的实际应用，多阶段决策问题，而每个阶段的决策要选最佳，选最佳就需要一个多重背包。
本题需要注意的是预估数组范围声明。可以看到本题需要声明个d[maxn]，但是maxn不好确定，题目只给出初始资金的范围，那么需要仔细的算一下最后资金的范围：注意此处为了防止卡数据，一定在内存富裕的情况下往大里声明。
举个例子，本题我估算了以下maxn最大是1000（当然是错的），于是我就声明了个1000，一半的点RE了。。。只能说，这种题，1000占太少内存了，直接声明到100000来保险。
本题作为背包的实际应用场景，代码可以参考

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const int maxw = 10000;
const int maxd = 10 + 3;
int c, t, n, v[maxd], w[maxd], cnt[maxd], d[maxw];

int main() {
    scanf("%d%d%d", &c, &t, &n);
    int a, b;
    _for(i, 0, n) {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        v[i] = a / 1000, w[i] = b;
    }

    int cc = c / 1000, rcc = c;
    _for(tt, 0, t) {
        memset(d, 0, sizeof(d));
        _for(i, 0, n) {
            cnt[i] = cc / v[i];
            int k = 1, amount = cnt[i];
            while (k < amount) {
                for (int j = cc; j >= v[i] * k; j--)
                    d[j] = max(d[j], d[j - v[i] * k] + w[i] * k);
                amount -= k;
                k *= 2;
            }
            for (int j = cc; j >= v[i] * amount; j--)
                d[j] = max(d[j], d[j - v[i] * amount] + w[i] * amount);
        }
        int ans = 0;
        _rep(i, 0, cc) ans = max(ans, d[i]);
        rcc += ans;
        cc = rcc / 1000;
    }

    printf("%d\n", rcc);

    return 0;
}

积木城堡

LP1504
本题的实际应用情况就不说了，有一个点。
本题是倒着的01背包，也就是从满的背包种往出拿东西，并且是判断性的DP。这里考虑的是刷表法，如果d[j]存在，那么d[j-v]也存在。
这里注意的是，由于是这样的逆的刷表法，所以j的枚举顺序都相反了，所以原本01背包的j:c->v，应该改成j:v->c。类似，其它种类的背包，也都需要颠倒枚举顺序。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const int maxn = 100 + 10;
const int maxm = 10000 + 10;
vector<int> item[maxn];
int n, sum[maxn], d[maxn][maxm];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    _for(i, 0, n) {
        int v;
        while (1) {
            scanf("%d", &v);
            if (v == -1) break;
            item[i].push_back(v);
            sum[i] += v;
        }
    }

    _for(i, 0, n) {
        d[i][sum[i]] = 1;
        for (vector<int>::iterator iter = item[i].begin(); iter != item[i].end(); ++iter) {
            for (int j = *iter; j <= sum[i]; j++)
                if (d[i][j])
                    d[i][j - *iter] = 1;
        }
    }

    int ans = 0;
    _for(i, 0, n) ans = max(ans, sum[i]);
    for (; ans >= 0; ans--) {
        bool b = true;
        _for(i, 0, n) if (!d[i][ans]) b = false;
        if (b) break;
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

这里有一个常数优化，考虑数组cnt[i]表示高度为i的城堡的个数。当i==n时，i是一个合法的解。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const int maxn = 100 + 10;
const int maxm = 10000 + 10;
vector<int> item[maxn];
int n, sum[maxn], d[maxm], cnt[maxm];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    _for(i, 0, n) {
        int v;
        while (1) {
            scanf("%d", &v);
            if (v == -1) break;
            item[i].push_back(v);
            sum[i] += v;
        }
    }

    _for(i, 0, n) {
        memset(d, 0, sizeof(d));
        d[sum[i]] = 1;
        cnt[sum[i]]++;
        for (vector<int>::iterator iter = item[i].begin(); iter != item[i].end(); ++iter) {
            for (int j = *iter; j <= sum[i]; j++)
                if (d[j]) {
                    if (!d[j - *iter]) cnt[j - *iter]++;
                    d[j - *iter] = 1;
                }
        }
    }

    int ans = 0;
    _for(i, 0, n) ans = max(ans, sum[i]);
    for (; ans >= 0; ans--) {
        if (cnt[ans] == n) break;
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

魔术棋子

LP2049
首先本题有个过程取模。可以得出的结论是，乘法不会改变模。
另外是注意对数据的输入时预处理，要先把每个整数取了mod再输入。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const int maxn = 100 + 10;
int n, m, k, G[maxn][maxn];
vector<int> d[maxn][maxn];  // 本题数据很小，放心用vector

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    int a;
    _rep(i, 1, n)
        _rep(j, 1, m) {
            scanf("%d", &a);
            a %= k;
            G[i][j] = a;
            d[i][j].assign(k, 0);
        }

    d[1][1][G[1][1]] = 1;
    _rep(i,1,n)
        _rep(j,1,m)
            _for(num,0,k)
                if (d[i][j][num]) {
                    if (i + 1 <= n) d[i + 1][j][num * G[i + 1][j] % k] = 1;
                    if (j + 1 <= m) d[i][j + 1][num * G[i][j + 1] % k] = 1;
                }

    int ans = 0;
    _for(i, 0, k)
        if (d[n][m][i])
            ans++;
    printf("%d\n", ans);
    _for(i, 0, k)
        if (d[n][m][i])
            printf("%d ", i);

    return 0;
}