数论之————逆元

数论倒数，又叫逆元

逆元有什么用呢？
大家都知道
(a+b)%p=(a%p+b%p)%p
(a-b)%p=(a%p-b%p)%p
(a*b)%p=(a%p * b%p)%p
以上操作都是对的

唯独到了除法不可以
比如：(8/2)%6=4!=(8%6)/(2%6)=1
对于有些题目需要中间过程取余，否则会超存储范，所以这时候就需要逆元了

逆元的定义：

方程ax≡1(mod p),的解称为a关于模p的逆，当gcd(a,p)==1（即a，p互质）时，方程有唯一解，否则无解。

逆元的含义：

模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。
假如b的逆元用inv(b)来表示，那么(a/b)%p就可以转化为(a*inv(b))%p

逆元的三种求法：

1.费马小定理:

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p)
a^(p-2)就是a关于p的逆元
求 a^(p-2)我们就可以使用快速幂得到
如果不了解快速幂点这里(ﾟ▽ﾟ)

2.扩展欧几里得法：

适用于快速幂会爆long long的情况。
ax+by=1;
这个解x就是a关于b的逆元，y就是b关于a的逆元
为啥呢？

方程两边同时对b取余
ax%b+by%b=1%b
ax%b=1%b
ax≡1(mod b)
同理可得y是b关于a的逆元

不懂扩展欧几里得点这里(*ﾟ▽ﾟ)

3.递推

当p是个质数时

inv[1]=1;
for(int i=2;i< mod;i++)
inv[i]=(mod-mod/i) * inv[mod%i];
对于这个式子的证明:

M=k*i+r≡0 （mod M）

式子两边同乘上 i^-1+r^-1,如果M不是质数得话r就可能为零

k * r^–1+i^–1≡0 （mod M）

i^–1≡–k*r^–1 (mod M)

i^–1≡ – (M/i）* (M mod i)^–1 (mod M)

易证： i^–1=(M–M/i)*inv[M%i]%M;