动态规划之树形动态规划

二叉苹果树  

题目 
有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉（就是说没有只有1个儿子的结点） 
这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。 
我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树 
   2   5 
    / / 
     3   4 
      / / 
       1 
现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。 
给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。  


输入格式 
第1行2个数，N和Q(1<=Q<= N,1
N表示树的结点数，Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1行描述树枝的信息。 
每行3个整数，前两个是它连接的结点的编号。第3个数是这根树枝上苹果的数量。 
每根树枝上的苹果不超过30000个。  

输出格式 
一个数，最多能留住的苹果的数量。 

样例输入

5 2

1 3 1

1 4 10

2 3 20

3 5 20

样例输出

21

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 
分析： 因为树是二叉的，所以状态转移方程很容易写出， 

f[i][m]表示第i个节点下，共保留m个树枝的最大苹果数目。

ch[i,L]表示i树左边的枝条集合， ch[i,R]表示i树右边的枝条集合

f[ch[i,L],n]表示在i树左边的枝条集合中选取n个枝条的最大苹果数目

f[ch[i,R],n]表示在i树右边的枝条集合中选取n个枝条的最大苹果数目

方程：f[i][m]=max{ f[ch[i,L],n]+f[ch[i,R],m-n]]} (0<=n<=m) 其中L,R为i的左右子树 

公式太抽象，举个例子

对于如下苹果树

有7个节点a,b,c,d,e,f,g; 有6条边，边的权重分别为5,24,20,30,21,27

求f[a][4]，即只保留4个枝条，最多留下多少苹果？

根据公式，f[a][4] = max

{

f[ch[a,L],3]+f[ch[a,R],1],

f[ch[a,L],2]+f[ch[a,R],2],

f[ch[a,L],1]+f[ch[a,R],3]

}

其中f[ch[a,L],3]=f[b,2] + 5 (枝条ab的权重);

所以

f[a][4] = max

{

5+f[b][2]+24,

5+f[b][1]+24+f[c][1],

5+24+f[c][2]

}

f[b][2]=50,f[b][1]=30,f[c][1]=27,f[c][2]=48

f[a][4] =f[ch[a,L],2] + f[ch[a,R],2]=

5+f[b][1]+24+f[c][1]=86;

题目2：看守道路

一个城堡的所有的道路形成一个n个节点的树，如果在一个节点上放上一个士兵，那么和这个节点相连的边就会被看守住，问把所有边看守住最少需要放多少士兵？

这个题目，是典型的树形动态规划

求解：
dproot[i]表示以i为根的子树，在i上放置一个士兵，看守住整个子树需要多少士兵。
all[i]表示看守住整个以i为根的子树需要多少士兵。（不一定要在i上，放置士兵）

状态转移方程：
叶子节点：dproot[k]=1; all[k]=0;

all[k]=0表示要看守住含有叶子节点道路，一定可以不用在叶子节点放置守卫
非叶子节点：
dproot[i]=1+∑all[j](j是i的儿子）；
all[i]=min(dproot[i],∑dproot[j](j是i的儿子));

这个题目还是比较简单的，如果把题目中树改为看守一个n个节点的图呢？