POJ NOTES：1006 Biorhythms 中国剩余定理

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题目解析

本题是一个中国剩余定理的应用问题。

错误做法：直接用循环判定p+k*23 == e+k*28 == i+k*33
错误原因：triple peak 中的3个peak不一定都发生在第k个period
（e.g. 第1个physical peak，第2个emotional peak 和第3个 intellectual peak是同一天）

正确求解方法
在本题中，三个不同的周期(23,28,33)相当于$m_1,m_2,m_3$；题目输入的$p,e,i$相当于$a_1,a_2,a_3$；求$A-d$，要求$A>d$

中国剩余定理

PS：所有的解为$A=A_0+t\times p\times e\times i（t\in Z）$

数论中的逆元及其求法

逆元的理解
$M_i$模$m_i$的逆元是使$M_i\times M_i^{-1}mod{m}_i=1$的最小$M_i^{-1}$，上图中表示为$M_i^{-1}mod{m}_i$ 。

逆元的求法

1. 枚举法
   枚举1到$p-1$的整数bi，若$b\times b_{i}modp=1$，则$b_i$即为$bmodp$的乘法逆元。(注意枚举范围)

2. 扩展欧几里得
   求使$M_i^{-1}\times M_{i}mod{m}_i=1$的最小$M_i^{-1}$可转化为求$（M_i^{-1}\times M_i+k\times m_i）mod{m}_i=1$
   且$M_i$与$m_i$互素，即$gcd(M_i,m_i)=1$。
   形如：求最小 $x,y$ 使得 $xa+yb=gcd(a,b)$ 的问题一般均可用extend_Eculid解。
   由欧几里得定理可知 $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$，其中$a\%b=a-(a/b)\times b$，据此推导：
   $x^{{}^{\prime }}b+y^{{}^{\prime }}(a\%b)=x^{{}^{\prime }}b+y^{{}^{\prime }}\left[a-(a/b)\times b\right]=gcd(b,a\%b)$
   $y^{{}^{\prime }}a+\left[x^{{}^{\prime }}-y^{{}^{\prime }}(a/b)\right]\times b=gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)$
   所以有
   $x=y^{{}^{\prime }}$
   $y=x^{{}^{\prime }}-y^{{}^{\prime }}(a/b)$
   且我们容易推出extend_Eculid中 $b=0$时，$x=1,y=0$
   可用递归代码求解，代码见下。

3. 费马小定理
   若p 是质数，$b$是正整数且不能被$p$整除，则有 $b^{p-1}\equiv 1(modp)$。
   可推出 $b^{p-2}modp$ 即为 $bmodp$ 的乘法逆元。

代码如下

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
//扩展欧几里得 求逆元
void ext_Euclid(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    ext_Euclid(b, a%b, x, y);
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp -(a/b)*y;
}
//中国剩余定理
int CRT(int a[], int m[], int n){
    int M = 1, x, y, ans = 0;
    int Mi[n];
    for(int i = 0; i < n; i++)
        M *= m[i];
    for(int i = 0; i < n; i++){
        Mi[i] = M/m[i];
        ext_Euclid(Mi[i],m[i],x,y);
        ans = (ans + a[i]*Mi[i]*x)%M;
    }
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;
}

int main(){
    int p, e, i, d, cnt = 0;
    int m[3] = {23, 28, 33};
    int a[3], ans;
    while(cin>>p>>e>>i>>d && p!=-1 && e!=-1 && i!=-1 && d!=-1){
        a[0] = p;
        a[1] = e;
        a[2] = i;
        ans = CRT(a,m,3);
        if(ans <= d) ans += 21252;
        cout<<"Case "<<++cnt<<": the next triple peak occurs in "<<ans-d+1<<" days."<<endl;
    }
    return 0;
}