第十二讲 二阶非齐次线性ODE解的结构

一，二阶非齐次线性ODE的标准形式：

• 
• 表示输入、驱动
•  表示输出、响应

二，通解：

•  
• 叫补充解，是齐次方程的通解
• （作为的相伴方程）
• 是非齐次方程的特解

三，应用：

• 弹簧—质量—阻尼系统（第九讲）
• 如图
• 在系统中，对小车施加额外的一个力
• 标准形式：
• 被动系统：当时，系统没有外力干涉，只是被动地对初始条件进行响应
• 受迫系统：当时，系统一直有外力干涉，强迫它运动

 

• 电路（第八讲）
• 如图
• R表示电阻，C表示电容，q表示电荷，j表示电流，表示电动势
• 在电路中，串联额外的一个电感L
• 基尔霍夫定律：当环绕电路运行时，元件的电压降之和为0
• 数学模型：，
• 两边求导：
• 被动电路：当时，比如电动势是干电池，或者电路中没有电源，电路中的电荷会趋于静止
• 受迫电路：当时，比如电动势是交流电源，强迫电荷运动

四，证明通解：

• 将化为
• L表示二阶线性算子
• 证明1：是解

1. 将代入原方程：
2. 
3. ，
4. 

• 证明2：是所有的解

1. 取任意一个方程的解
2. 
3. 
4. 
5. 齐次方程的解：
6. 和是所有常数中选出的特定值
7. 

五，区分稳态解和暂态解的条件：

• 一阶常系数非齐次线性ODE：，k为常数
• 通解：
• 当时，是齐次方程，是它的通解
• （是的相伴方程）
• 非齐次方程的特解
• 当时，为稳态解，为暂态解（见第三讲第七点）
• 当时，，无法区分

 

• 二阶常系数非齐次线性ODE：，A和B是常数
• 通解：
• 当所有特征根都具有负实部时，为稳态解，为暂态解，如下表：

• 特征根	相伴方程的通解	通解趋于0的条件
  		，