第十二讲 二阶非齐次线性ODE解的结构

一,二阶非齐次线性ODE的标准形式:

  • {y}''+p(x){y}'+q(x)y=f(x)
  • f(x)表示输入、驱动
  •  y(x)表示输出、响应

二,通解:

  •  y=y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}
  • {\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}叫补充解,是齐次方程{y}''+p(x){y}'+q(x)y=0的通解
  • {y}''+p(x){y}'+q(x)y=0作为{y}''+p(x){y}'+q(x)y=f(x)的相伴方程)
  • y_{p}是非齐次方程{y}''+p(x){y}'+q(x)y=f(x)的特解

三,应用:

  • 弹簧—质量—阻尼系统(第九讲)
  • 如图第十二讲 二阶非齐次线性ODE解的结构_第1张图片
  • 在系统中,对小车施加额外的一个力f(t)
  • 标准形式:{x}''+\frac{c}{m}{x}'+\frac{k}{m}x=\frac{1}{m}f(t)
  • 被动系统:当f(t)=0时,系统没有外力干涉,只是被动地对初始条件进行响应
  • 受迫系统:当f(t)\neq 0时,系统一直有外力干涉,强迫它运动

 

  • 电路(第八讲)
  • 如图第十二讲 二阶非齐次线性ODE解的结构_第2张图片
  • R表示电阻,C表示电容,q表示电荷,j表示电流,\varepsilon表示电动势
  • 在电路中,串联额外的一个电感L
  • 基尔霍夫定律:当环绕电路运行时,元件的电压降之和为0
  • 数学模型:L{j}'+Rj+\frac{q}{C}=\varepsilon (t)j=\frac{dq}{dt}
  • 两边求导:L{j}''+R{j}'+\frac{1}{C}j={\varepsilon }'(t)
  • 被动电路:当{\varepsilon }'(t)=0时,比如电动势是干电池,或者电路中没有电源,电路中的电荷会趋于静止
  • 受迫电路:当{\varepsilon }'(t)\neq 0时,比如电动势是交流电源,强迫电荷运动

四,证明通解:

  • {y}''+p(x){y}'+q(x)y=f(x)化为Ly=f(x)
  • L表示二阶线性算子
  • 证明1:y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}是解
  1. y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}代入原方程:L(y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}})
  2. L(y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}})=L(y_{p})+L({\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}})
  3. \becauseL({\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}})=0L(y_{p})=f(x)
  4. \thereforeL(y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}})=f(x)
  • 证明2:y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}是所有的解
  1. 取任意一个方程的解u(x)
  2. L(u)=f(x)
  3. L(y_{p})=f(x)
  4. L(u)-L(y_{p})=L(u-y_{p})=0
  5. 齐次方程的解:u-y_{p}={\color{Magenta} \widetilde{c}_{1}y_{1}+\widetilde{c}_{2}y_{2}}
  6. \widetilde{c}_{1}\widetilde{c}_{2}是所有常数中选出的特定值
  7. u=y_{p}+{\color{Magenta} \widetilde{c}_{1}y_{1}+\widetilde{c}_{2}y_{2}}

五,区分稳态解和暂态解的条件:

  • 一阶常系数非齐次线性ODE:{y}'+ky=q(t),k为常数
  • 通解:y=e^{-kt}\int e^{kt}qdt+e^{-kt}C
  • q=0时,{y}'+ky=0是齐次方程,e^{-kt}C是它的通解
  • {y}'+ky=0{y}'+ky=q(x)的相伴方程)
  • e^{-kt}\int e^{kt}qdt非齐次方程{y}'+ky=q(x)的特解
  • k> 0e^{-kt}\int e^{kt}qdt为稳态解,e^{-kt}C为暂态解(见第三讲第七点)
  • k< 0e^{-kt}C\rightarrow \infty,无法区分

 

  • 二阶常系数非齐次线性ODE:{y}''+A{y}'+By=f(t),A和B是常数
  • 通解:y=y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}
  • 当所有特征根都具有负实部时,y_{p}为稳态解,{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}为暂态解,如下表:
  • 特征根 相伴方程的通解 通解趋于0的条件
    r_{1}\neq r_{2} c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t} r_{1}< 0r_{2}< 0
    r_{1}=r_{2} c_{1}e^{rt}+c_{2}e^{rt}t r< 0
    r=a\pm bi e^{at}(c_{1}cos(bt)+c_{2}sin(bt)) a< 0

     

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