算法分析学习总结及考试
算法分析学习总结及考试
一、 学习内容
1. 总体：理解算法的设计、提出、实现；算法的特性；算法的时间/空间复杂度分析等；
2. 主要讲解的算法思想：
① 递归
② 分治法（检索、找最大最小元素、排序/分类、斯特拉森矩阵乘法）
③ 贪心方法（0/1背包问题（物品可分解）、带有限期的作业排序问题及用集合树实现）
④ 动态规划（多段图向前处理法和向后处理法、构造最优二分检索树、0/1背包问题（物品不可分割）、可靠性设计问题、流水线调度问题、货郎担问题）
⑤ 回溯法（八皇后问题、带有限期的作业排序（惩罚值）、子集和数问题）
⑥ 分支限界法（华容道/15迷问题、圆排列问题（非书上例题）
3. 其他概念：
① 算法时间复杂度及分析
② P问题、NP问题、NP完全问题、NP难问题；
4. 第一部分：课程简介及算法简介
① 算法的（共识）定义：A set of rules for solving problems in afinite number of steps.一系列解决问题的明确指令，在规定时间内给出输入，得到输出。
② 算法的特性：有限性、确定性、0或多个输入、一个或多个输出、可行性/有效性；不仅要求步骤是有限的，而且要求步骤合理。
③ 设计算法：掌握算法设计策略 分析算法：分析占用CPU时间、占用存储器空间表示算法：将算法用语言表示出来 确认算法：保证算法是正确的
④ 运行时间用基本操作的次数来衡量，有如下：1<㏒N ⑤ 渐近表示：O(n)等 ⑥ 渐进函数的性质 5. 第二部分：递归（不考） 6. 第三部分：分治法 ① 概念 ② 二分检索、时间复杂度、以比较为基础的检索算法时间上界 ③ 寻找最大最小元素（原来的算法、改进算法、时间复杂度、何时使用改进算法、何时使用原来算法） ④ 排序问题：直接插入排序、归并排序、改进的链接归并排序、时间复杂度 ⑤ 斯特拉森矩阵乘法：将n^3改进为n^2.81,理解思想即可 7. 第四部分：贪心方法 ① 贪心算法定义 ② 背包问题（物品可以分解）：度量标准、算法、贪心解就是最优解证明 ③ 带有限期的作业排序：度量标准、算法、贪心解时最优解证明、可行调度表的证明、总体算法、更快的作业排序算法、集合树实现 8. 第五部分：动态规划 ① 定义、最优性原理、多阶段决策 ② 多段图求最短路径：向前处理法、向后处理法 ③ 构造最优二分检索树：定义、递推关系式及推理、算法、KNUTH提出的改进、改进后的时间复杂性O(n^2) ④ 0/1背包问题（物品不可分割）：递推关系式、序偶对及支配原则、回溯找解、支配原则转化为算法、时间复杂度分析、加速思想 ⑤ 可靠性设计：递推关系式、序偶对 ⑥ 流水线调度问题：抢先调度、非抢先调度、处理流程、递推关系式、Johnson不等式、应用Johnson法则简化、得出调度方法 ⑦ 货郎担问题：递推关系式、时间复杂度分析 9. 第六部分：回溯法 ① 概念 ② 过程 ③ 解空间树的一些定义：问题状态、答案状态、解状态、状态空间 ④ 解空间树的生成：活节点、死节点、E-节点 ⑤ 按照生成方式分类：深度优先生成、广度优先生成、D-检索、回溯法步骤、形式化描述、效率估计 ⑥ 八皇后问题回溯算法 10. 第七部分：分支限界法 ① 分支限界法 ② LC-检索 ③ 结点成本函数 ④ 估计函数 ⑤ 15谜问题及树的生成 ⑥ 3 ⑦ LC检索算法基本步骤（入活节点表判断、出活节点表判断） ⑧ 带有限期的作业排序（惩罚值）树的生成 ⑨ c（x）=U时怎么办？ ⑩ FIFOBB算法（先入先出的分支限界算法） ⑪ LCBB算法（LC检索分支限界算法） ⑫ 分支限界算法优缺点 ⑬ 非书上问题：圆排列问题 11. 第八部分：NP问题等 ① 易解问题 ② 难解问题 ③ 判定问题和优化问题 ④ P类问题 ⑤ NP类问题 ⑥ NP难问题 ⑦ NP完全问题 ⑧ cook定理 二、 考试相关 1. 选择题： 2. 简答题：15谜判断、求解递推关系式、一些定义、NP问题等、算法思想、不受限节点估计值 3. 证明题：常证明以下问题：贪心解是最优解、可行调度表与可行解、渐进函数证明、书后习题证明（抢先调度也适用、作业执行时间不相等也可以得到可行调度表、 4. 计算题 5. 设计算法 考试题设计算法出的是寻找一个单峰数组的单峰，定义如下：如果一个数组A[n],有A[1] (1) 直接比较的意思就是两两元素进行比较找单峰，即找到第一个比后面元素大的元素，在考试时，我认为是从第一个元素开始比较，最好情况下是单峰是第二个元素，要进行两次比较：A[1] i<-2; while(i+1<=N){ if(A[i]>A[i+1])then return i; else i++; } return -1; (2) 分治法设计的算法： EC(low,high.p)//p是返回值，-1表示无单峰 if(high-low<=4) then{//数组规模小于5 i<-low+1; while(i+2<=high)do{ if(A[i] else i++; } return -1; } else{ mid<-(low+high)/2;//取地板操作 EC(low,mid+1.p1) if(p1!=-1) return p1; EC(mid-1,high.p2); return p2; } 上面算法的思想是每次将规模较大的A分成两部分，分别找单峰再一起判断，由于如果单峰在中间，即在mid处，如果按照传统的分治法分为(low,mid)、（mid+1，high），分成的两个数组将一个是递增的，一个是递减的，无法找到单峰，所以分成(low,mid+1)、(mid-1,high)，两部分，若mid是单峰，则两个数组全都能找到它，所以在实际使用时，先找左边的单峰，没有才找右边的。 为什么用5作为数组是否使用分治法的分界？最开始我是想，因为规模为5的数组使用分治法，变成了两个规模为4的数组，如果单峰是第4个元素，那么就是在找两个4元数组的单峰，这样看分治法算法效率并不明显，所以选的5作为分界。 为什么在小于5的数组直接比较找单峰时和（1）不一样？因为（1）中数组肯定是单峰数组，而在（2）中不确定，有可能是一个依次递增的数组，也有可能是一个依次递减的数组，因此只比较相邻两个元素是不够的。 最好情况下就是规模<5,元素第二个，需要比较2次（第一个和第二个、第二个和第三个），时间复杂度是O(2)； 最坏情况下，就是规模很大，而且倒数第二个元素是单峰，这时，每次使用分治法，都必须调用两次EC，设n=2^k*m(m=3,4,5); T(n)=2*T(n/2)+c=4*T(n/4)+2*c+c=…=2^k *T(m)+(1+2+…+2^(k-1))*c=2^k*b+(2^k -1)*c;其中b是n<=5是的时间复杂度，是一个常数，c是“合”的时候对于p1、p2判断的时间复杂度，也是一个常数，因此，最后最坏情况下的时间复杂度是O(n). 3.算法分析题型（分数不太记得了） ①选择*5（基本靠概念、时间复杂度等、NP问题方面必出一个） ②简答题*4 ③证明题*2（贪心解是最优解、渐进函数的证明、某些算法的推广和某一步骤的证明） ④计算题*4（带有限期的作业排序（集合树，考试考了）、0/1背包问题贪心方法和动态规划方法（考试考了）、流水线调度（考试考了）、最优二分检索树构成、XX谜问题（考试考了）、多段图问题、计算不受限节点估计） ⑤计算题：考试考的题见上面，平时遇到的有点意思的是分治法找假币、分治法判断二叉树是否对称同构