数学建模之灰色模型

灰色关联分析

数据变换
  为保证建模的质量与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换 和处理，使其消除量纲和具有可比性。

设有序列

    $x=(x(1),x(2),x(3),\cdots ,x(n))$

则称映射

     $f\to y$

    $f(x(k))=y(k),k=1,2,\cdots ,n$

为序列 $x$ 到序列 $y$ 的数据变换。

下面介绍几个常用变换：
1）初值化变换

    $f(x(k))=\frac{x(k)}{x(1)}=y(k)$

2）均值化变换

    $f(x(k))=\frac{x(k)}{\bar{x}}=y(k),\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}x(k)$

3）归一化变换

    $f(x(k))=\frac{x(k)}{x_0}=y(k)$
  其中，$x_0$为某个大于0的值。

4）极差最大值化变换

    $f(x(k))=\frac{x(k)-\underset{k}{\min }x(k)}{\underset{k}{\max }x(k)}=y(k)$

5）区间值化变换

    $f(x(k))=\frac{x(k)-\underset{k}{\min }x(k)}{\underset{k}{\max }x(k)-\underset{k}{\min }x(k)}=y(k)$

关联分析
选取参考列

    $x_0=(x_0(1),x_0(2),\cdots ,x_0(n))$

假设有$m$个比较列

    $x_i=(x_i(1),x_i(2),\cdots ,x_i(n)),i=1,2,\cdots ,m$

则称

    ${\xi }_i(k)=\frac{\underset{s}{\min }\underset{t}{\min }|x_0(t)-x_s(t)|+\rho \underset{s}{\max }\underset{t}{\max }|x_0(t)-x_s(t)|}{|x_0(k)-x_i(k)|+\rho \underset{s}{\max }\underset{t}{\max }|x_0(t)-x_s(t)|}$

为比较序列$x_i$对参考序列$x_0$在$k$时刻的关联系数，其中，分辨系数$\rho \in [0,1]$。一般来讲，分辨系数$\rho$越大，分辨率越大；$\rho$ 越小，分辨率越小。

因此，关联度
    $r_i=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\xi }_i(k)$

Matlab代码:

clear
clc
x = []		%数据，一种因素一行
[num,~] = size(x)
    %数据处理，采用初值化变化
for i = 1:num
%如果有负相关
%		if i == 3
%			x(i,:) = x(i,1)./x(i,:);
%     else
			x(i,:) = x(i,:)./x(i,1);
%    end
end
x_new = x;
H = size(x_new,1); %1行数x_new
L = size(x_new,2); %2列数x_new
for i=1:H-1
	for k=1:L
		cha(i,k) = abs(x(1,k) - x(i+1,k));
	end
end
min_cha=min(min(cha));
max_cha=max(max(cha));
%取分辨系数0.5
p=0.5;
for i=1:H-1
	for k=1:L
		r(i,k) = (min_cha + p*max_cha)./(cha(i,k)+p*max_cha);
	end
end
r1 = sum(r(1:H-1,:),2)/(L); %2一行求和
%    [rs,rind] = sort(r,'descend');

灰色预测模型

累加生成AGO
原始数列

    $x^0=(x^0(1),x^0(2),\cdots ,x^0(n))$

通过

    $x^1(k)=\sum _{i=\alpha }^k{x}^0(i),k=\alpha ,\cdots ,n$
  其中， $\alpha ⩽n$为正整数。上述累加过程当 $1⩽\alpha ⩽k$ 时称为去首累加生成，当 $\alpha =1$时称为一般累加生成.。(这里我们只讨论$\alpha =1$的情况)

得到一次累加数列，1-AGO

    $x^1=(x^1(1),x^1(2),\cdots ,x^1(n))$

在一次累加的基础上继续累加得到二次累加生成2-AGO。以后同理。

累减生成IAGO
记第$r$次累加为$r$-AGO,则称

    $x^{(r-1)}(k)=x^{(r)}(k)-x^{(r)}(k-1),k=2,3,\cdots ,n$

为$r$次累减生成数列。

均值生成
原始数列

    $x^0=(x^0(1),x^0(2),\cdots ,x^0(n))$

对于常数$\alpha \in [0,1]$，称

    $z^0(k)=\alpha x^0(k)+(1-\alpha )x^0(k-1)$

为邻值生成数。
当$\alpha =0.5$时，称

    $z^0(k)=0.5x^0(k)+0.5x^0(k-1)$

为（紧）邻均值生成数，即等权邻值生成数。

数据检验
首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。设参考
数据为$x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\cdots ,x^{(0)}(n))$，计算数列的级比

    $\lambda (k)=\frac{x^{(0)}(k-1)}{x^{(0)}(k)},k=2,3,\cdots ,n$

如果所有的级比$\lambda (k)$都落在可容覆盖$(e^{-\frac{2}{n+1}},e^{\frac{2}{n+2}})$内，则数列$x^{(0)}$可以作为模型
的数据进行灰色预测。否则，需要对数列$x^{(0)}$ 做必要的变换处理，使其落入可容覆盖内。即取适当的常数c，作平移变换

    $y^{(0)}(k)=x^{(0)}(k)+c,k=2,3,\cdots ,n$

使数列$y^{(0)}=(y^{(0)}(1),y^{(0)}(2),\cdots ,y^{(0)}(n))$的级比都落入到$(e^{-\frac{2}{n+1}},e^{\frac{2}{n+2}})$内。

GM(1,1)模型

  $x^{(0)}$为$n$个元素的数列$x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\cdots ,x^{(0)}(n))$，$x^{(0)}$的 1-AGO 生成数列为$x^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),\cdots ,x^{(1)}(n))$，则定义 $x^{(0)}$ 的灰导数为

    $d(k)=x^{(0)}(k)=x^{(1)}(k)-x^{(1)}(k-1)$

令 $z^{(1)}$ 为数列 $x^{(1)}$的紧邻均值数列，即

    $z^{(1)}(k)=0.5x^{(1)}(k)+0.5x^{(1)}(k-1),k=2,3,\cdots ,n$

则$z^{(1)}=(z^{(1)}(2),z^{(1)}(3),\cdots ,z^{(1)}(n))$。于是定义 GM(1,1)的灰微分方程模型为

    $d(k)+a{z}^{(1)}(k)=b$

即
    $x^{(0)}(k)+a{z}^{(1)}(k)=b$

其中$x^{(0)}(k)$称为灰导数，$a$称为发展系数，$z^{(1)}(k)$称为白化背景值，$b$称为灰作用量。

  将时刻$k=2,3,\cdots ,n$，代入式中有

    $\{\begin{array}{l}{x}^{(0)}(2)+a{z}^{(1)}(2)=b\\ x^{(0)}(3)+a{z}^{(1)}(3)=b\\ \cdots \cdots \\ x^{(0)}(n)+a{z}^{(1)}(n)=b\end{array}$

  令$Y=(x^{(0)}(2),x^{(0)}(3),\cdots ,x^{(0)}(n){)}^T，u=(a,b{)}^T，B=\left[\begin{array}{cc}-z^{(1)}(2)& 1\\ -z^{(1)}(3)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -z^{(1)}(n)& 1\end{array}\right]$，称$Y$为数据向量，$B$为数据矩阵，$u$ 为参数向量，则GM(1,1)模型可以表示为矩阵方程 $Y=Bu$。
  由最小二乘法可以求得

    $u=(a,b{)}^T=(B^{T}B{)}^{-1}{B}^{T}Y$

GM(1,1)的白化微分方程为

    $\frac{d{x}_1^{(1)}}{dt}+a{x}_1^{(1)}(t)=\sum _{i=2}^N{b}_i{x}_1^{(1)}(t)$

将灰参数带入，解得

    $\widehat{x^{(1)}}(k+1)=(x^0(1)-\frac{b}{a})e^{-ak}+\frac{b}{a},k=1,2,\cdots ,n-1$

累减IAGO，得到预测值

    $\widehat{x^{(0)}}(k+1)=\widehat{x^{(1)}}(k+1)-\widehat{x^{(1)}}(k),k=1,2,\cdots ,n-1$

残差：$x^{(0)}(k)-\widehat{x^{(0)}}(k)$

相对误差：$\frac{x^{(0)}(k)-\widehat{x^{(0)}}(k)}{x^{(0)}(k)}$

Matlab代码：
级比数据处理:

function [x0] = huise_change(x0)
%级比数据处理
   [~,m] = size(x0);
   for k = 2:m
       c(k) = x0(1,k-1)/x0(1,k);
   end
   for k = 2:m
       if(c(k)exp(2/(m+2)))
           while (x0(1,k-1)/x0(1,k))>exp(2/(m+2))
               x0(1,k) = x0(1,k)+0.0001;
           end 
       end
   end   
end

GM(1,1)模型

 x0 = [] 	%数据
 %计算级比，平移处理数据
 x0 = huise_change(x0);
 [~,m] = size(x0);     %n行m列
 %累加AGO
 AGO = cumsum(x0);
 for k=2:m   %取a = 0.5
     Z(k)=(AGO(k-1)+AGO(k))/2;   %Z(i)为xi(1)的紧邻均值生成序列
 end
 Z(1) = [];  %去掉第一个数
 B = [-Z;ones(1,m-1)];
 Y=x0;
 Y(1) = [];
 Y = Y';
 B=B';
 %最小二乘计算a(发展系数),b(灰作用量)
 %c = (B'*Y)/(B'*B);
 c = inv(B'*B)*B'*Y;
 c = c';
 a = c(1);
 b = c(2);
 %预测
 F = []; F(1) = x0(1);
 for i = 2:m+10 %这里10代表向后预测的数目，如果只预测一个的话为1
     F(i) = (x0(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;
 end
 
 %对数列 F 累减还原IAGO,得到预测出的数据
 G = []; G(1) = x0(1);
 for i = 2:m+10 %10同上
     G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
 end
 %   disp('预测数据为：');
 t = 1:m;
 plot(t,x0)
 hold on;
 t = 1:m+10;
 plot(t,G,'r')

GM(1,N)模型

  同GM(1,1)原理类似，GM(1,1)即表示模型是 1 阶的，且只含 1 个变量的灰色模型。而GM(1,N) 即表示模型是 1 阶的，包含有 N 个变量的灰色模型。
Matlab代码：

function [cancha,G,u] = huise_GM_N(x0,day)
%GM(1,N)
%处理数据
x0 = huise_change(x0);

[n,m]=size(x0);     %n行m列

%AGO = zeros(n,m+1);

%n行(个)的影响因子的AGO累加
AGO = cumsum(x0,2);          %单行矩阵默认横向，1纵向，2横向

for k=2:m   %取a = 0.5
    Z(k)=(AGO(1,k-1)+AGO(1,k))/2;   %Z(i)为xi(1)的紧邻均值生成序列
end
Z = Z(2:end);
Z = Z';
AGO_ = AGO(2:end,2:end)';
B = [-Z,AGO_];
Y = x0(1,2:end);

C=((B'*B)\(B'*Y'))';    %由回归公式，确定a,b，建立GM(1,n)模型,参数列

a=C(1);

b=C(:,2:end);

F=[];
F(1)=x0(1,1);

u=zeros(1,m);

for i=1:m
    for j=1:n-1
        u(i)=u(i)+(b(j)*AGO(j+1,i));
    end
end

for i=1:m-1
    x(i) = u(i+1) - u(i);
end

ave = sum(x)/m-1;

for k=1:m
    F(k)=(x0(1,1)-u(k)/a)/exp(a*(k-1))+u(k)/a;
end
G=[];
G(1)=x0(1,1);

b_ = u(m);
%预测
for k=m+1:m+1+day
    b_ = b_+ave+rand(1)*100; %需要修改随机数
    F(k)=(x0(1,1)-b_/a)/exp(a*(k-1))+b_/a;
end

for k=2:m+1+day
    G(k)=F(k)-F(k-1);%两者做差还原原序列，得到预测数据
end

%残差
for k=2:m
    cancha(k-1) = abs((x0(1,k-1) - G(k)))/x0(1,k-1);
end
t1=1:m;
t2=1:m+1+day;
plot(t1,x0(1,:),'bo--');
hold on;
plot(t2,G,'r*-'); 
title('预测结果');
legend('真实值','预测值');

写在最后

本文对修正、优化模型未作涉及，仅是基础原理。
学习笔记，如有错误，欢迎指正。