解微分方程数值解法（理论部分）

欧拉法

首先先来介绍欧拉法，如果对于一条曲线，用$\Delta$$t$来将线段划分成许多小段，那么我们就可以近似认为每一段的斜率都是常数，且对于第$i$段的斜率表示为
$$\frac{d{y}_i}{dt}=\frac{y_{i+1}-y_i}{\Delta t}$$
以最为常见的一阶微分方程为例
$$\frac{dy}{dt}=a_{0}y+f(t)$$
我们再利用欧拉法求解的时候需要第$i$段的斜率，因此利用上式，带入$(t_i,y_i)$求得$\frac{d{y}_i}{dt}$，综合可得
$$\frac{y_{i+1}-y_i}{\Delta t}=a_0{y}_i+f(t_i)$$
再变一下型
$$y_{i+1}=(a_0\Delta t+1)y_i+f(t_i)\Delta t$$
这就是欧拉法，其误差的大小取决于你$\Delta$$t$选择的大小。

改进的欧拉法

首先计算出第$i$个点的斜率
$$\frac{d{y}_i}{dt}=a_0{y}_i+f(t_i)$$
然后再利用
$$y_{i+1}=\frac{d{y}_i}{dt}\Delta t+y_i$$
求出第$i+1$个点处的斜率
$$\frac{d{y}_{i+1}}{dt}=a_0{y}_{i+1}+f(t_i)$$
这样我们在计算这一段时就会有两个斜率可以用，所以就取这两个斜率的平均值来作为这个线段的斜率
$$y_{i+1}=y_i+\frac{\Delta t}{2}(\frac{d{y}_{i+1}}{dt}+\frac{d{y}_i}{dt})$$

四阶龙格-库塔积分法

为了方便这里设$s_i=f(y_i,t_i)=a_0{y}_i+f(t_i)$，那么先计算
$$s_i=f(y_i,t_i)$$
再计算
$$s_{i+1}=f(y_i+\frac{\Delta t}{2}{s}_i,t_i+\frac{\Delta t}{2})--沿着s_i这个斜率向前走\frac{\Delta t}{2}处的斜率$$
再计算
$$s_{i+2}=f(y_i+\frac{\Delta t}{2}{s}_{i+1},t_i+\frac{\Delta t}{2})$$
$$s_{i+3}=f(y_i+\Delta t{s}_{i+2},t_i+\Delta t)$$
得到这4个斜率后再用下式计算
$$y_{i+1}=y_i+\frac{\Delta t}{6}(s_i+2s_{i+1}+2s_{i+2}+s_{i+3})$$
这种方法比前两种算法都来得精准，但是增加了计算量，以及计算程序变得复杂。