数论 —— 逆元与同余式定理

【同余模公式】

• (A+B)%M = (A%M+B%M) % M
• (A*B)%M = (A%M*B%M) % M
• (A/B)%M = (A*C)%M = (A%M*C%M) % M，其中 B*C≡1(mod M)，B、M 互质，C 称为 B 的逆元

(A/B)%M 的推导：(A/B)%M = (A/B) * 1 % M = (A/B)*B*C % M = (A*C) % M

【威尔逊定理】

若 p 为素数，则：

其逆定理同样成立，即：若 ，则 p 为素数

【二次探测定理】

内容：若 p 是素数且 0 仅有的两个解为：x=1，p-1

证明：

由于  ，因此：，也即 

因为 p 是素数，因此 p 必然是或整除 x-1 或整除 x+1，由此可推出定理。

【费马小定理】

若 a 为正整数，p 是一质数，则：  ，那么 

推论：

【欧拉定理】

若 a 与 m 互质，则：