数论 —— 逆元与同余式定理

【同余模公式】

  • (A+B)%M = (A%M+B%M) % M
  • (A*B)%M = (A%M*B%M) % M
  • (A/B)%M = (A*C)%M = (A%M*C%M) % M,其中 B*C≡1(mod M),B、M 互质,C 称为 B 的逆元

(A/B)%M 的推导:(A/B)%M = (A/B) * 1 % M = (A/B)*B*C % M = (A*C) % M

【威尔逊定理】

若 p 为素数,则:(p-1)!\equiv-1(mod\:p)

其逆定理同样成立,即:若 (p-1)!\equiv-1(mod\:p),则 p 为素数

【二次探测定理】

内容:若 p 是素数且 0 仅有的两个解为:x=1,p-1

证明:

由于 x^{2}\equiv 1(mod\:p) ,因此:x^{2}-1\equiv 0(mod\:p),也即 (x+1)(x-1)\equiv 0(mod\:p)

因为 p 是素数,因此 p 必然是或整除 x-1 或整除 x+1,由此可推出定理。

【费马小定理】

若 a 为正整数,p 是一质数,则: GCD(a,p)=1 ,那么 a^{p-1} \equiv 1(mod\:\, p)

推论:a^p\:mod\:m\equiv a^{p\:mod\:(m-1)}

【欧拉定理】

若 a 与 m 互质,则:a^{\phi(m)}\equiv1(mod\:m)

 

你可能感兴趣的:(——题解——)