数论逆元基础

数论逆元基础

目录：
1.逆元的作用
2.逆元的定义
3.单个逆元的求法
4.多个逆元的求法

1.逆元的作用

先知道是干什么的，能解决什么问题
我所知道的数论题中常见的出现模运算
$(a+b)\%mod=(a\%mod+b\%mod)\%mod$
$(a\ast b)\%mod=(a\%mod\ast b\%mod)\%mod$

现在给出$(3\ast 6/3)mod7$
第一种算法：原式=$(18/3)mod7$=6;
第二种算法：原式=$((18mod7)/3)mod7=(4/3)mod7=1？\times$

显然如果计算机处理的话结果肯定是1，也就是说除法不存在取模的运算法则，在某些时候就会产生数字太大精度错误等问题。

化除为乘是一个好的处理方法，记得以前做过一个题目，排序两个结构体使a/b的值大的排前面，如果写return $x_1.a/x_1.b>x_2.a/x_2.b$就会出错，但是写成return $x_1.a\times x_2.b>x_1.b\times x_2.a$就可以了。那么这里我们能不能找到一个整数X满足$(4/3)mod7=(4\ast X)mod7$呢？如果可以的话就会把问题简化很多了

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2.逆元的定义

如果$ax\equiv 1$ $mod$ $p$，且$gcd(a,p)=1$，称$x$为$a$关于模$p$的乘法逆元

从这个定义可以看出，如果a,p不互质的话，也就不存在a关于模p的乘法逆元！

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3.单个逆元的求法

• （一）exgcd

由定义可知$ax=py+1$移项可得
$ax+mp=1(a,p互质且已知)$
那么显然第一种求逆元的方法——exgcd求解方程$ax+mp=1$的整数$x$即为a关于模p的一个逆元（逆元数量不是唯一的）

每求一次逆元的复杂度是$O(log(a+p))$

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return gcd;
}
int main()
{
    ll g=exgcd(a,b,x,y);//注意输入时a,p对应a,b
    if (g!=1){NO;}
    ll t=b/1;
    if (t<0)t=-t;
    ll inv=(x%t+t)%t;
}

• （二）费马小定理(证明跳过，不会 )

当p为素数的时候才可以用！！！！！

$a^{p-1}\equiv 1$ $mod$ $p$ ===> $a\times a^{p-2}\equiv 1$ $mod$ $p$
这不就是定义吗，所以$a^{p-2}$就是a模p意义下的逆元，快速幂求一次即可

每求一次逆元的复杂度是$O(log(p-2))$，优于exgcd但局限于质数范围

ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if (b&1)res=(res*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res%mod;
}
int main()
{
    WW(qpow(a,p-2,p));
}

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4.多个逆元的求法

• 线性递推算法

$inv[i]$表示i在模p意义下的逆元
主要用到递推式：$inv[i]=(p-p/i)\ast inv[p\%i]\%p$
大佬证明（本人菜鸡不会）：
设$p=k\ast i+r$===>$k\ast i+r\equiv 0$ $mod$ $p$
两边同乘$i^{-1}{r}^{-1}$,得到
$k\ast r^{-1}+i^{-1}\equiv 0$ $mod$ $p$
整理得到
$i^{-1}\equiv -\lfloor p/i\rfloor \ast (p\%i{)}^{-1}$ $mod$ $p$，证明完毕

由于这样求出来的$inv[i]$可能是负数，根据性质
$a\equiv b$ $mod$ $m$
则 $a\equiv b+mk$ $mod$ $m$

对右边$+p\ast inv[p\%i]$;

综上所述，代码如下：

int main()
{
    ll n,p;
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    inv[1]=1;
    rep(i,2,n)
    {
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
    }
    rep(i,1,n)WW(inv[i]);
}

• 欧拉函数求解

  听说不常用，就先放一下……

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5.例题

放一道差点错了的题

• 例题1：
  洛谷P2613模板题

这就是最明显的直接套用逆元求解大数除法mod
用费马小定理也可以解……

/**
 *  Author1: low-equipped w_udixixi
 *  Author2: Sher丶lock
 *  Date :2019-09-10
 **/
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define pb push_back
#define rep(x,a,b) for (int x=a;x<=b;x++)
#define repp(x,a,b) for (int x=a;x
#define W(x) printf("%d\n",x)
#define WW(x) printf("%lld\n",x)
#define pi 3.14159265358979323846
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define lson rt<<1,l,mid
#define rson rt<<1|1,mid+1,r
using namespace std;
const int maxn=2e6+7;
const int INF=1e9;
const ll INFF=1e18;
const ll MOD=19260817;
char s1[maxn];
char s2[maxn];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=x*(a/b);
    return gcd;
}
int main()
{
    ll a=0,b=0,x,y;
    cin>>s1>>s2;int l1=strlen(s1),l2=strlen(s2);
    rep(i,0,l1-1)
        a=(a*10+s1[i]-'0')%MOD;
    rep(i,0,l2-1)
        b=(b*10+s2[i]-'0')%MOD;
    ll g=exgcd(b,MOD,x,y);
    if (g!=1){cout<<"Angry!"<<endl;return 0;}
    ll t=MOD/1;
    if (t<0)t=-t;
    ll inv=(x%t+t)%t;
    ll ans=a*inv%MOD;
    WW(ans);
}

• 例题2
  HDU1576

模板题（只会模板题的wudixixi）
直接套费马小定理求解

/**
 *  Author1: low-equipped w_udixixi
 *  Author2: Sher丶lock
 *  Date :2019-09-10
 **/
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define pb push_back
#define rep(x,a,b) for (int x=a;x<=b;x++)
#define repp(x,a,b) for (int x=a;x
#define W(x) printf("%d\n",x)
#define WW(x) printf("%lld\n",x)
#define pi 3.14159265358979323846
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define lson rt<<1,l,mid
#define rson rt<<1|1,mid+1,r
using namespace std;
const int maxn=2e6+7;
const int INF=1e9;
const ll INFF=1e18;
ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if (b&1)res=(res*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res%mod;
}

int main()
{
    int t,a,b;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        int inv=qpow(b,9971,9973);
        W(a*inv%9973);
    }
    return 0;
}