走廊泼水节(最小生成树扩充为完全图)

ACM题集：https://blog.csdn.net/weixin_39778570/article/details/83187443
图论：https://blog.csdn.net/weixin_39778570/article/details/87825212
题目链接：http://contest-hunter.org:83/contest/0x60「图论」例题/6201 走廊泼水节

题目描述

【简化版题意】给定一棵N个节点的树，要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树。求增加的边的权值总和最小是多少。

我们一共有N个OIER打算参加这个泼水节，同时很凑巧的是正好有N个水龙头(至于为什么，我不解释)。N个水龙头之间正好有N-1条小道，并且每个水龙头都可以经过小道到达其他水龙头(这是一棵树，你应该懂的…)。但是OIER门为了迎接中中的挑战，决定修建一些个道路(至于怎么修，秘密_{),使得每个水龙头到每个水龙头之间都有一条直接的道路连接(也就是构成一个完全图呗})。但是OIER门很懒得，并且记性也不好，他们只会去走那N-1条小道，并且希望所有水龙头之间修建的道路，都要大于两个水龙头之前连接的所有小道(小道当然要是最短的了)。所以神COW们，帮那些OIER们计算一下吧，修建的那些道路总长度最短是多少，毕竟修建道路是要破费的~~

输入格式

本题为多组数据~
第一行t，表示有t组测试数据
对于每组数据
第一行N，表示水龙头的个数（当然也是OIER的个数）；
2到N行，每行三个整数X,Y,Z；表示水龙头X和水龙头Y有一条长度为Z的小道

输出格式

对于每组数据，输出一个整数，表示修建的所有道路总长度的最短值。

样例输入
2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5
样例输出
4
17

分析

给出了最小生成树，求扩充为完全图的最小代价，最小生成树不变。
考虑两个联通块(已经是完全图了，分别有m1,m2个点)，在生成最小生成树的时候需要把他们合并起来，这条边的权重为wei，若两个联通块要合并为完全图，则需要添加$m1\ast m2$条边，扣除掉最小的那条边，并且最小生成树要唯一，那么最小的花费为
$(wei+1)\ast (m1\ast m2-1)$
于是我们可以使用Kruskal的框架贪心地计算答案.
时间复杂度O(nlogn)

#include
#define ll long long
#define fo(i,j,n) for(register int i=j; i<=n; ++i)
using namespace std;
const int N=6006;
int t,n;
struct Edge{
	int x,y,z;
	bool operator<(const Edge &p)const{
		return z<p.z;
	}
}edge[N];
int fa[N],size[N];
int get(int x){
	return x==fa[x] ? x : fa[x]=get(fa[x]);
}
void kruskal(){
	sort(edge+1,edge+n);
	fo(i,1,n)fa[i]=i,size[i]=1;
	int ans=0;
	fo(i,1,n-1){
		int fx = get(edge[i].x);
		int fy = get(edge[i].y);
		if(fx==fy)continue;
		ans += (edge[i].z+1)*(size[fx]*size[fy]-1); // 减去现在这条边 
		if(size[fx]<size[fy])swap(fx,fy);
		fa[fy] = fx;
		size[fx]+=size[fy]; 
	}
	printf("%d\n",ans);
}
int main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		fo(i,1,n-1){
			scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].z);
		}
		kruskal();
	}
	return 0;
}