次小生成树讲解+模板+例题（POJ-1679）

前置技能：

最小生成树kruskal算法

次小生成树：

定义：

设 G=(V,E,w)是连通的无向图，T 是图G 的一个最小生成树。如果有另一棵树T1，满足不存在树T’,ω（T’）<ω（T1） ，则称T1是图G的次小生成树。

说白了也就是只比最小生成树大的一颗生成树。

算法（这里就不在去说那些定理了~，直接说对算法的理解）：

怎么去找到一颗次小生成树呢？首先很容易想到的就是，每次删除最小生成树中的一条边，然后跑一遍最小生成数的算法，在新生成的所有树里面选择一颗最小的，就是要求的答案。这种方法的正确性很显然，但是时间复杂度确是O（nlogn*m）的级别（跑了m次最小生成树的算法）（这在稠密图里面是相当致命的0.0）。

那我们应该怎么办呢，另一种方法就是，我们假设，除去了最小生产树里面所有的边的边集为E，如果在最小生成树里面加上任意的E里面的边，一定会形成一个环（很容易就想明白），然后我们删去最小生成树在环中的最长边。这样我们就得到了有E中的这条边参与的最小的一颗生成树。然后我们枚举所有的边，选择最小的那颗生成树，就得到了需要的次小生成树啦。0.0

看着是不是很简单，但是有一个问题需要我们去考虑，就是怎么得到任意两个点之间，在最小生成树中的最长边呢？其实，在进行kruskal算法的时候，新加入的边一定是当前所有边的最长边，我们就可以根据这个来更新当前正在合并的两个等价类之前的最长边，这两个等价类，两两之间的最长边都是新加入的这条边，逐个更新即可。

这样的复杂度是多少呢？kruskal算法的nlogn + 更新任意两点的距离 n*n + 遍历枚举E中的边 m 。因为m最多也是n*n级别的，所以最终的时间复杂度就是O（n*n）。

具体的实现见下方例题的代码，有详细注释。

例题：POJ-1679

Description

Given a connected undirected graph, tell if its minimum spanning tree is unique. 

Definition 1 (Spanning Tree): Consider a connected, undirected graph G = (V, E). A spanning tree of G is a subgraph of G, say T = (V', E'), with the following properties: 
1. V' = V. 
2. T is connected and acyclic. 

Definition 2 (Minimum Spanning Tree): Consider an edge-weighted, connected, undirected graph G = (V, E). The minimum spanning tree T = (V, E') of G is the spanning tree that has the smallest total cost. The total cost of T means the sum of the weights on all the edges in E'. 

Input

The first line contains a single integer t (1 <= t <= 20), the number of test cases. Each case represents a graph. It begins with a line containing two integers n and m (1 <= n <= 100), the number of nodes and edges. Each of the following m lines contains a triple (xi, yi, wi), indicating that xi and yi are connected by an edge with weight = wi. For any two nodes, there is at most one edge connecting them.

Output

For each input, if the MST is unique, print the total cost of it, or otherwise print the string 'Not Unique!'.

Sample Input

2
3 3
1 2 1
2 3 2
3 1 3
4 4
1 2 2
2 3 2
3 4 2
4 1 2

Sample Output

3
Not Unique!

例题题意：

就是说让你判断最小生成树是否唯一，不唯一输出Not Unique!，否则输出最小生成树的总权值。

啥都不用分析了，直接就是模板题，上模板！！！！

代码：（详细注释）

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int MAXN=10000+10; //点的最大数量
const int MAXE=10000+10; //边的最大数量
const int INF=(int)2e9;
int f[MAXN];
struct node{
    int a,b,w;
    bool select;//标记是否是最小生成树里面的边
    bool operator < (node &a) const
    {
        return w