稳定性与分岔（1）-什么是分岔？
1.一个例子说明分岔
考虑一个半径为 a a a的光滑圆环，绕它的一根铅直直径以等角速度 ω \omega ω旋转。在圆环上有一个质量为 m m m的光滑小环。目标是求小环在大环上的位置。
θ \theta θ表示小圆环和竖直线的夹角。由于小环受大环的约束力 R R R必然是如图垂直于大环的方向，作用在小环上来的惯性力是水平方向，重力是铅直方向。作用在小环上的这三个力应当平衡。所以有
m a ω 2 sin θ m g = t g θ (1.1) \frac{ma\omega ^{2}\sin\theta }{mg}=tg\theta \tag{1.1} mgmaω2sinθ=tgθ(1.1)
即 sin θ ( a ω 2 g − 1 cos θ ) = 0 \sin\theta \left ( \frac{a\omega ^{2}}{g}-\frac{1}{\cos\theta } \right )=0 sinθ(gaω2−cosθ1)=0。
由这两个式子可以算出 θ \theta θ和 ω \omega ω的关系。把角度 θ \theta θ和 ω \omega ω的关系曲线画在图上就得到下图的两条线。一条是 θ = 0 \theta=0 θ=0，另一条是 θ = arccos ( g a ω 2 ) \theta = \arccos\left ( \frac{g}{a\omega ^{2}} \right ) θ=arccos(aω2g)。这后面一条曲线是从点 P = ( θ , ω ) = ( 0 , ± g a ) P=\left ( \theta ,\omega \right )=\left ( 0,\pm \sqrt{\frac{g}{a}} \right ) P=(θ,ω)=(0,±ag)分出来的。即从 ω = ω ∗ = ± g a \omega =\omega^{*}=\pm \sqrt{\frac{g}{a}} ω=ω∗=±ag， θ \theta θ不再是 0 0 0而是随着 ω \omega ω增加。当 θ \theta θ趋近于$2/\pi $时，转速 ω \omega ω趋于无穷。这个点 P P P就称为分岔点。整个问题的解在分岔点分为两支称为分岔现象。
这个例子是一个典型的、简单的分岔问题。在我们的例子中， θ \theta θ表征系统状态的量。此外在系统中还包括一个参量 ω \omega ω。显然系统的状态是依赖于参数的。当 ω < ω ∗ \omega <\omega^{*} ω<ω∗时，系统只有唯一解，即小环处于 θ = 0 \theta=0 θ=0的平衡位置。这时，平衡是稳定的。而当 ω > ω ∗ \omega >\omega^{*} ω>ω∗时，平衡解成为不稳定的，出现了另外一支解，小环处于 θ = arccos ( g a ω 2 ) \theta = \arccos\left ( \frac{g}{a\omega ^{2}} \right ) θ=arccos(aω2g)，随大环以角速度 ω \omega ω旋转。就是说在系统的分岔点，原来的状态成为不稳定的，出现了另外一个稳定的状态分支。
以上得出，系统具有分岔现象，需要具备以下条件：
第一，要求有一组描述系统状态的量（状态变量）。在上面的例子中，就是 θ \theta θ。在一个复杂的系统中描述系统状态的量，可以是由许多数组成的向量或者矩阵，也可以是描述过程的时间和空间的函数，还可以是许多函数组成的函数向量或者矩阵。由于使用了复杂的描述状态的数量系统，人们就可以描述十分复杂的自然界现象与过程。（飞机飞行姿态的六个决定参数、梁或者杆形变的挠度等）
第二，要求有一组表征过程的参量。在上面的例子中，就是 ω \omega ω。实际问题中，这组参数只取一个，也称为系统的分岔参数。我们讨论的问题就不是仅仅关于系统的一个状态，而是在参数变化时考虑系统的状态依赖于参数 ω \omega ω变化的过程。比如在例子中，我们讨论的是系统的状态 θ \theta θ依赖于旋转加速度变化的过程。在实际的复杂系统中，就是要去研究这些复杂系统的状态随所选定的参数的变化过程。
第三，要求有控制系统状态的方程，即描述系统状态的量所必须满足的方程。对于讨论分岔现象来说，方程必须是非线性的。就是说··，在方程中，问题的未知量，包括系统的分岔参数，他们之间不能只是以一次项的形式出现。
线性方程的定义。设系统的 n n n个状态量为 x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , x N x_{1},x_{2},\cdot \cdot \cdot ,x_{N} x1,x2,⋅⋅⋅,xN,如果系统的 n n n个控制方程是
a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a i n x n = b i , ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ) a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\cdot \cdot \cdot +a_{in}x_{n}=b_{i},(i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n) ai1x1+ai2x2+⋅⋅⋅+ainxn=bi,(i=1,2,⋅⋅⋅,n)
其中 a i j a_{ij} aij都是常数。这种方程称为线性方程。由线性方程控制的系统是不可能有分岔现象的。但是不是所有的由非线性方程控制的系统都会产生分岔。例如一条连续光滑的曲线。对于一般没有分岔的非线性问题，可以逐段采用线性问题来逼近，如同平面曲线可以采用逐段的直线去逼近。而对于分岔问题，在分岔点附近，是不能用线性化的思想去逼近的。例如在例子中，过 P P P点作直线，只能逼近解的一支而不能两支都逼近。
2. 分岔现象的小分类
常见的分岔有两类：一类是平衡解的分岔（静分岔），上例就是一个平衡解的分岔，起先小环在大环的最低点平衡，在旋转参数 ω \omega ω超过临界值后，就在大环的另一点平衡；另一类是霍普夫（Hopf）分岔,他是由平衡状态分出一支周期运动，在上面的例子，如果在固定的参考系中来看小环，在临界转速后，小环便产生了一个周期运动。
静分岔的例子，一根理想的弹性直杆，在杆上施加相同压力压力 p p p时（设杆中点的挠度为 w w w），直的状态总是一种平衡位置。参考上面的例子， ω \omega ω相当于 p p p， θ \theta θ相当于杆中点的挠度为 w w w。当压力 增加时，起初杆还是直的。一旦 超过了某个临界压力，直杆的直的状态就不再是稳定的了，杆便产生了弯曲形变， 与 的关系类似于图 2 2 2上的曲线。我们看到当超过临界压力时，挠度随压力增加得是很快的。
霍普夫（Hopf）分岔的例子，口琴上有很多的簧片，当小风吹过时，簧片不发生运动。而当吹的风变大时，超过了某个临界风速，簧片就会产生周期运动而振动起来。
内容参考：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=39472