稳定性与分岔（1）-什么是分岔？

1.一个例子说明分岔

  考虑一个半径为$a$的光滑圆环，绕它的一根铅直直径以等角速度$\omega$旋转。在圆环上有一个质量为$m$的光滑小环。目标是求小环在大环上的位置。

  $\theta$表示小圆环和竖直线的夹角。由于小环受大环的约束力$R$必然是如图垂直于大环的方向，作用在小环上来的惯性力是水平方向，重力是铅直方向。作用在小环上的这三个力应当平衡。所以有
$$\frac{ma{\omega }^2\sin \theta }{mg}=tg\theta \text{\hspace{1em}(1.1)}$$
即$\sin \theta \left(\frac{a{\omega }^2}{g}-\frac{1}{\cos \theta }\right)=0$。
  由这两个式子可以算出$\theta$和$\omega$的关系。把角度$\theta$和$\omega$的关系曲线画在图上就得到下图的两条线。一条是$\theta =0$，另一条是$\theta =\arccos \left(\frac{g}{a{\omega }^2}\right)$。这后面一条曲线是从点$P=\left(\theta ,\omega \right)=\left(0,\pm \sqrt{\frac{g}{a}}\right)$分出来的。即从$\omega ={\omega }^{\ast }=\pm \sqrt{\frac{g}{a}}$，$\theta$不再是$0$而是随着$\omega$增加。当$\theta$趋近于$2/\pi $时，转速 $\omega$趋于无穷。这个点$P$就称为分岔点。整个问题的解在分岔点分为两支称为分岔现象。

  这个例子是一个典型的、简单的分岔问题。在我们的例子中，$\theta$表征系统状态的量。此外在系统中还包括一个参量$\omega$。显然系统的状态是依赖于参数的。当$\omega <{\omega }^{\ast }$时，系统只有唯一解，即小环处于$\theta =0$的平衡位置。这时，平衡是稳定的。而当$\omega >{\omega }^{\ast }$时，平衡解成为不稳定的，出现了另外一支解，小环处于$\theta =\arccos \left(\frac{g}{a{\omega }^2}\right)$，随大环以角速度$\omega$旋转。就是说在系统的分岔点，原来的状态成为不稳定的，出现了另外一个稳定的状态分支。
  以上得出，系统具有分岔现象，需要具备以下条件：
  第一，要求有一组描述系统状态的量（状态变量）。在上面的例子中，就是$\theta$。在一个复杂的系统中描述系统状态的量，可以是由许多数组成的向量或者矩阵，也可以是描述过程的时间和空间的函数，还可以是许多函数组成的函数向量或者矩阵。由于使用了复杂的描述状态的数量系统，人们就可以描述十分复杂的自然界现象与过程。（飞机飞行姿态的六个决定参数、梁或者杆形变的挠度等）
  第二，要求有一组表征过程的参量。在上面的例子中，就是$\omega$。实际问题中，这组参数只取一个，也称为系统的分岔参数。我们讨论的问题就不是仅仅关于系统的一个状态，而是在参数变化时考虑系统的状态依赖于参数$\omega$变化的过程。比如在例子中，我们讨论的是系统的状态$\theta$依赖于旋转加速度变化的过程。在实际的复杂系统中，就是要去研究这些复杂系统的状态随所选定的参数的变化过程。
  第三，要求有控制系统状态的方程，即描述系统状态的量所必须满足的方程。对于讨论分岔现象来说，方程必须是非线性的。就是说··，在方程中，问题的未知量，包括系统的分岔参数，他们之间不能只是以一次项的形式出现。
  线性方程的定义。设系统的$n$个状态量为$x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_N$,如果系统的$n$个控制方程是
$$a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{in}{x}_n=b_i,(i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n)$$

  其中$a_{ij}$都是常数。这种方程称为线性方程。由线性方程控制的系统是不可能有分岔现象的。但是不是所有的由非线性方程控制的系统都会产生分岔。例如一条连续光滑的曲线。对于一般没有分岔的非线性问题，可以逐段采用线性问题来逼近，如同平面曲线可以采用逐段的直线去逼近。而对于分岔问题，在分岔点附近，是不能用线性化的思想去逼近的。例如在例子中，过$P$点作直线，只能逼近解的一支而不能两支都逼近。

2. 分岔现象的小分类

  常见的分岔有两类：一类是平衡解的分岔（静分岔），上例就是一个平衡解的分岔，起先小环在大环的最低点平衡，在旋转参数$\omega$超过临界值后，就在大环的另一点平衡；另一类是霍普夫（Hopf）分岔,他是由平衡状态分出一支周期运动，在上面的例子，如果在固定的参考系中来看小环，在临界转速后，小环便产生了一个周期运动。
  静分岔的例子，一根理想的弹性直杆，在杆上施加相同压力压力$p$时（设杆中点的挠度为$w$），直的状态总是一种平衡位置。参考上面的例子，$\omega$相当于$p$，$\theta$相当于杆中点的挠度为$w$。当压力 增加时，起初杆还是直的。一旦 超过了某个临界压力，直杆的直的状态就不再是稳定的了，杆便产生了弯曲形变， 与 的关系类似于图$2$上的曲线。我们看到当超过临界压力时，挠度随压力增加得是很快的。

  霍普夫（Hopf）分岔的例子，口琴上有很多的簧片，当小风吹过时，簧片不发生运动。而当吹的风变大时，超过了某个临界风速，簧片就会产生周期运动而振动起来。

内容参考：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=39472