20ZR暑期联赛班 Day 3

原题大赛

过桥

可以发现，两个人相遇后都会掉头走，这意味着每个人位置的相对顺序是不变的。

那么运用一个套路，让相遇的两个人穿插而过，那么现在要求排名为任意值的人的位置。

二分套二分即可

while (l <= r) {
	int mid = (l + r) >> 1; // 二分位置
	int rk = upper_bound(rig + 1, rig + nr + 1, mid - t)- rig - 1 + 
	upper_bound(lef + 1, lef + nl + 1, mid - t)- lef - 1; // 分向左和向右求排名
	if (rk >= k) ans = mid, r = mid - 1;
	else l = mid + 1;
}

分组

结合 Link 和 Link 可以学到许多与分组有关的 dp 知识。

首先要确定关键字排序，当然是按 $s_i$ 排序了，那么同一组的人的极差就是第一个人和最后加进的人。那么正常的 dp 状态是 $f_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 个人分成 $j$ 组极差和为 $k$ 的方案数，但是不能知道哪个组有没有结束，所以 $j$ 那一维应该是有 $j$ 组没有结束。那么转移为

$$\{\begin{array}{ll}{f}_{i+1,j+1,k-s_i}+=f_{i,j,k}& 作为最小值新开一组\\ f_{i+1,j,k}+=f_{i,j,k}\times j& 随便插入一组\\ f_{i+1,j-1,k+s_i}+=f_{i,j,k}\times j& 作为最大值结束一组\\ f_{i+1,j,k}+=f_{i+1,j,k}& 作为最小值和最大值新开一组并结束\end{array}$$

第四个容易落掉。用滚动数组优化掉第一维，然后这样 dp 还需要一个偏移量防止数组下标出现负数，复杂度为 $O(n^2\times {\sum }_i{S}_i)$，会超时。

优化的应该是 $k$ 这一维，因为我们求的是极差和 $<k$ ，但这个 $k$ 有很多想去不掉的冗余状态。那么神仙来了，他用了差分的思想，令 $s_i=a_i-a_{i-1}$

$$\begin{gathered} a_i-a_j=a_{i+1}-a_i+a_{i+1}-a_{i+2}+a_{i+2}-a_{i+1}+\cdots +a_j=a_{j-1} \\ \Updownarrow \\ {a}_i-a_j=\sum _{k=i+1}^j{s}_k \end{gathered}$$

可以发现这个式子在不断增长的，所以只需要转移 $k$ 以内的即可。

最大

01 Trie 的板子，有异或、和、或三个情况，会写在这 Link。