莫比乌斯反演与容斥原理

莫比乌斯反演与容斥原理

说真的 。刚接触莫比乌斯反演的时候我觉得这玩意很神奇。

随着认识的加深。我觉得这玩意跟容斥原理真的好像。

方便理解。来个栗子。。

定义：函数 F(a) F ( a ) 有：

F(a)=∑a|df(d) F ( a ) = ∑ a | d f ( d )

定义从所有素数从小到大组成的集合为：

P={P1,P2,P3,...P∞} P = { P 1 , P 2 , P 3 , . . . P ∞ }

1 1 是不能被任何素数整除的数字。有容斥原理可得：

f(1)=F(1)−∑0<iF(Pi)+∑0<i<jF(PiPj)−∑0<i<j<kF(PiPjPk)... f ( 1 ) = F ( 1 ) − ∑ 0 < i F ( P i ) + ∑ 0 < i < j F ( P i P j ) − ∑ 0 < i < j < k F ( P i P j P k ) . . .

答案最终有 [1,∞] [ 1 , ∞ ] 上的每一个 F F 的取值乘以，1或者0或者-1得到。

上面式子解释一下。 F(a) F ( a ) 对应a的倍数所组成集合对应的 f f 所有和。

若计算不可以被任何素数整除的集合对应的 f f ，即 f(1) f ( 1 ) 。应用容斥原理。依次遍历可以被k个素数整除的交错和。

即：

f(1)=∑i≥1aiF(i) f ( 1 ) = ∑ i ≥ 1 a i F ( i )

显然有：

如果 i i 中含有平方素因子。则：

ai=0 a i = 0

反之。当：

i=∏k∈setPk i = ∏ k ∈ s e t P k

其中， set s e t 为无重复元素的整数集合,则：

ai=(−1)|set| a i = ( − 1 ) | s e t |

定义莫比乌斯函数：

μ(i)=ai μ ( i ) = a i

我们得到这样一个事实,对于一切算数函数 F，f F ， f ,当：

F(d)=∑d|af(a) F ( d ) = ∑ d | a f ( a )

则有：

f(d)=∑d|aμ(ad)F(a) f ( d ) = ∑ d | a μ ( a d ) F ( a )

对于这种无穷形式。我们还有一种较为对称的形式。

即：

F(d)=∑a|df(a) F ( d ) = ∑ a | d f ( a )

则：

f(d)=∑a|dμ(a)F(da) f ( d ) = ∑ a | d μ ( a ) F ( d a )

这中形式形如一种卷积。

我们先不证明上式的正确性。（直接证明也可以。但不能的到更多的东西。

定义函数卷积运算，即函数 A，B，C A ， B ， C 有：

C(n)=∑a∗b=nA(a)B(b) C ( n ) = ∑ a ∗ b = n A ( a ) B ( b )

我们记上述运算为狄利克雷积：

A∗B=C A ∗ B = C

得到了一个新函数。

这可以看作一个函数运算。

容易有：

(A∗B)∗C=A∗(B∗C)A∗B=B∗A ( A ∗ B ) ∗ C = A ∗ ( B ∗ C ) A ∗ B = B ∗ A

上述反演可以定义为：

f∗I=F f ∗ I = F

则：

f=F∗μ f = F ∗ μ

其中：

I(n)=1 I ( n ) = 1

定义单位元函数 e e 有：

f∗e=f f ∗ e = f

显然：

e(n)=[n=1] e ( n ) = [ n = 1 ]

如果：

f=F∗μ=f∗I∗μ=f f = F ∗ μ = f ∗ I ∗ μ = f

则显然：

I∗μ=e I ∗ μ = e

证明：

f∗I=F  蕴含  F∗μ=f f ∗ I = F     蕴 含     F ∗ μ = f

只需要证明：

μ∗I=e μ ∗ I = e

即：

∑a|nμ(a)=[n=1] ∑ a | n μ ( a ) = [ n = 1 ]

n=1 n = 1 时显然成立。

当 n>1 n > 1 时。

记：

n=∏i∈setPxii n = ∏ i ∈ s e t P i x i

set s e t 为不含重复元素的 n n 的素数数集合。

则：

∑a|nμ(a)=∑k=0|set|(−1)k(∣∣set∣∣k)=(1−1)|set|=0 ∑ a | n μ ( a ) = ∑ k = 0 | s e t | ( − 1 ) k ( | s e t | k ) = ( 1 − 1 ) | s e t | = 0

得证。

通常与容斥原理有关的 都会应用到第一个向无穷情况的形式，而这个多数与容斥关系不大。