剑指offer算法题解2

7 斐波那契额数列

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。
n<=39

分析：明显使用递归，不过使用递归会有很多重复的子问题，在一个问题具有最优子结构性质，重叠子问题性质性质时就应该使用动态规划
动态转移方程 dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

//普通分治
public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n==0){
            return 0;
        }
        if(n==1||n==2){
            return 1;
        }
        return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
    }
}
//动态规划
public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n==0){
            return 0;
        }
        if(n==1||n==2){
            return 1;
        }
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[1]=1;
        dp[2]=1;
        for(int i=3;i<n+1;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

8 跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

分析：显然这也是一道简单的动态规划题:到达台阶i有两种方式，从前一个跳上来，从前两个跳上来 ，动态转移方程 dp[i]=dp[i-1+dp[i-2]

public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target==0){
            return 0;
        }else if(target==1){
            return 1;
        }else if(target==2){
            return 2;
        }
        int[] dp=new int[target+1];
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        for(int i=3;i<target+1;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[target];
    }
}

9 变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析：先考虑特殊情况target==0，然后其他情况:可以直接使用动态规划，动态转移方程dp[i]= dp[0]+...dp[i-1]

当然这种方法不是太好，经过分析 dp[i]=d[i-1]*2,因为dp[0]+...dp[i-2]=dp[i-1]，所以可以直接递归即可,有一点类似斐波那契数列

又由于dp[1]=1，所以答案就是2^target-1

//1
import java.util.Arrays;
public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target==0){
            return 0;
        }
        int[] dp=new int[target];
        Arrays.fill(dp,1);
        for(int i=1;i<target;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                dp[i]+=dp[j];
            }
        }
        return dp[target-1];
    }
}


//2
public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target==0){
            return 0;
        }else if(target==1){
            return 1;
        }
        return 2*JumpFloorII(target-1);
    }
}
//3
public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) { 
        return target == 0 ? 0 : (int)Math.pow(2,target-1);
    }
}

9 矩形覆盖

我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

分析：也是动态规划，长为1只有一种放法，长为2有两种放法（两横两竖），其他情况依赖长为i依赖与i-1和i-2的情况。

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {
        if(target==0){
            return 0;
        }else if(target==1||target==2){
            return target;
        }
        return RectCover(target-1)+RectCover(target-2);
    }
}