数学：确定性的丧失---第六章 不合逻辑的发展：分析的困境
发信人: paradax (秀树*冬眠中。。。), 信区: Philosophy
标 题: 数学：确定性的丧失(7)
发信站: 北大未名站 (2002年10月23日22:36:32 星期三), 转信
第六章 不合逻辑的发展：分析的困境
任何研究工作的开端，几乎都是极不完美的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目
的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能
将正确的途径示以他人。……可以这样说，为了寻求真理，我们是注定要经历挫折和失
败的。
——狄德罗
数学家们以微积分为核心的分析是建立在算术与代数虚构的逻辑基础及欧几里得几何有
争议的基础之上的。微积分是全部数学中最微妙的一个学科，一想到我们在较为简单的
领域中所发现的那些缺陷，不难想象，微积分中的一系列概念和逻辑结构肯定令数学家
们智穷力竭了。事实确实如此。
微积分使用了函数的概念。简单地说，函数是变量之间的一种关系。例如，当一个球从
房顶落下时，下落距离和下落时间同时增加。如果我们忽略空气阻力，那么距离和时间
这两个变量之间的函数关系可以用关系式d=16t2来表示，在这里，t指下落时间，单位是
秒；d指时间t内下落的距离，单位是英尺WL0068_0125_0①。
任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或几百年以前，函数的概念也是如此。然而，
直到17世纪，人们对函数才有了明确的理解。历史的细节并不重要，重要的是这样一个
事实：虽然函数的概念易于理解，但即使是最简单的函数也涉及到所有形式的实数。因
此，在上面这个例子里，肯
时并不被人们充分了解。于是，人们在处理数字时就跳过逻辑，对函数也是如此。然而
，在1650年以前，无理数被人们随心所欲地使用，这种错误也就被掩饰了。
微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这
样，除了用来处理数字所需的基础之外，它们还需要逻辑方面的基础。
17世纪最伟大的数学家们着手处理这两个概念。这些学者中最著名的有开普勒，笛卡尔
，卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)、费马、帕斯卡、詹姆斯·格雷戈里(James
Gregory)、罗伯瓦尔(Gilles Persone de Roberval)、惠更斯、巴罗、瓦里斯，当然还
有牛顿和莱布尼茨。上述每个人都在定义、计算微分和定积分方面做出了各自的贡献。
有些人用的是纯几何推理的方法，有些人用的是纯代数推理的方法，还有些人兼而用之
。我们关注的是这些人坚持数学推理这一标准的好坏程度，为了达到这一目的，举几个
典型的例子就够了。事实上，这其中许多方法都很类似，不值得在这里多说。
正如牛顿所做的那样，理解导数之本质最好的方法是考虑速度。如果一个物体在4秒内运
动了200英尺，我们可以说平均速度是每秒50英尺。如果物体是匀速运动的，平均速度也
就是4秒内每一时刻的速度。然而，绝大多数运动都不是匀速的，一个落向地面的物体，
一颗从枪中射出的子弹和一颗围绕太阳运转的行星都在不停地改变运动速度。很多情况
下，我们必须知道某些特定时刻的速度。例如，当子弹射中人的一瞬间的速度是非常重
要的，如果这个速度是零，子弹就会落在地上，如果是1000英尺/ 秒，被射中的人就会
倒在地上。这里所指的时刻是指长度为零的一段时间。此时，物体移动的距离也为零。
因此，如果我们像计算平均速度那样计算瞬时速度，用走过的路程除以时间，结果就是0
/0，这是毫无意义的。
17世纪的数学家们依稀看到了摆脱这种困境的方法，但是并没有抓住它。这种方法也许
可以这样描述：假设一个物体正在向地面落去，我们想知道下落后第四秒时它的速度。
现在，如果我们考虑用物体下落中时间间隔来代替时刻，用它在这一段时间间隔内下降
的距离除以所用时间，就得到了这一间隔中物体的平均速度。我们可以计算从第四秒起
，在1/2秒，1/4秒，1/8秒…内的平均速度。这个时间间隔越短，计算出来的平均速度肯
定越接近第四秒时的速度。若预先假定我们所要做的就是计算不同时间间隔内的平均速
度并且研究它们会趋近于哪一个数，这个数就是我们所要求的第四秒时的瞬时速度。这
个方案看起来不无道理，但是我们应当看到事实上还有许多内在的困难。但不管怎么说
，如果我们能计算出第四秒时的速度，我们就把它称作d=16t2在t=4秒时的导数。
如果使用数学符号来表达上面这段话，我们会更清楚地看到困难所在。这些表达式，尤
其是最后被大家所接受的那个，应归功于费马。下面我们计算一个下落的小球在第四秒
时的速度。这个小球的运动状态可用
d=162
(1)
描述。当t=4时，d=16×42=256，设任意一个时间增量是h，在第（4＋h）秒时，小球会
下降256英尺加上距离增量k，有
256+k=16(4+h)2=16(16+8h+h2)
或
256+k=256+128h+16h2
两边都减去256
得 k=128h+16h2
在时间h秒内的平均速度为
幸运的是，费马用了这样一个简单的函数而且认为可以在上式右边分子、分母同除以h，
这样就得到了
然后，他令h=0，得到
d=128 (4)
作为第四秒时的下落速度（符号d是牛顿发明的）。这里的d就是函数d=16t2在t=4秒时的
导数。
推导的问题在于：开始，h不为零，所以才能进行分子、分母同除以h的运算，即(3)式只
有在h≠0时才正确，这样就不能令h=0而得出结论。而且，对于d=16t2这样简单的函数，
(2)式可以简化为(3)，而对于更复杂的函数，我们只能导出类似于(2)式的结果，这样，
当h=0时，k/h就是0/0，这是没有意义的。
费马一直没能证明他所做的这些，事实上，虽然必须承认他是微积分学的创始人之一，
但他并没能把这项工作非常深入地进行下去。在他能对正在研究的想法给予充分的证明
之前，他总是非常谨慎地不公布任何一般的定理。由于他能给出一个几何的解释，所以
他还是满意地得到了正确的推导过程，而且他坚信最终可以得到一个合理的几何证明。
使微积分的创立者们迷惑不解的第二个概念就是定积分。在计算由图形所围的总面积或
曲线下的部分面积，由图形表面围住的体积以及各种不同形状物体的重心时，都要用到
定积分的概念。为了弄清楚困难所在，我们来看下面这个问题。即求出一条曲线下的面
积。
如图(6.1)所示，曲线GF的方程为y=x2，求出由弧GF，x轴上线段DE和垂直线段DG、FE围
住的图形DEFG的面积。
图6.1
图6.2
这里，我们得通过逐次逼近来求得整个面积，就像17世纪的数学家们所做的那样。我们
把间隔DE分为等长的三段，每段长h，把分点记为D1、D2和D3，D3也就是E点（图6.2）。
把分点处对应的坐标值记为y1、y2和y3，y1h、y2h、y3h就是图中所示矩形的面积，它们
的和
y1h + y2h + y3h (5)
就是面积DEFG的一个近似值。
用更多、更小的矩形，我们就能得到面积DEFG更精确的近似值。假设我们把DE分成六段
。图6.3显示出了图6.2中的中间那个矩形发生的变化，它被两个小的矩形代替了。由于
我们用每个分点处的y值做为矩形的高度，图6.3中所示的阴影面积就不再是用来表示面
积DEFG的近似值的六个矩形面积和的一部分了。因此，和式
y1h + y2h + y3h + y4h + y5h + y6h (6)
就比和式(5)更精确地近似于DEFG的面积。
我们可以对上述近似过程做一个一般性的描述，假设把DE分为n等分，就会有n个矩形，
每个宽度都是h，每个分点的y值为y1，y2，…，yn，省略号表示分割的所有中间y值。n
个矩形面积的总和就是
y1h + y2h +…+ynh (7)
图6.3
这里省略号表示所有中间的矩形面积。考虑如上所述的把DE细分的效果，可知n越大，面
积和(7)就越近似于所求的DEFG的面积。当然，n越大，h越小，因为h=DE/n，于是，我们
通过这个例子看出用矩形可实现对曲线下面积的逐渐逼近。
直观地看，矩形越多，其面积和就越接近于所求曲线下的面积。17世纪的数学家们解决
这个问题的办法是让n变成无穷大。然而，无穷大的含义本身就不清楚。它是一个数吗?
如果是，怎样对它进行计算呢？当费马推导出如同(7)式那样的n个矩形的面积和的表达
式时，他肯定发现其中包含如1/n和1/n2的项。当n无穷大时，他认为它们可以忽略不计
因而略去了。就像在上述求导数的例子中一样，费马也可以精确地证明，很有可能是用
欧多克斯的穷竭法（一种有限而且相当复杂的几何方法，阿基米得用得相当熟练）。
早期用定积分计算面积和体积的工作中，也许卡瓦列里值得一提。因为他是那个时代含
糊不清的思考方式的典型，而且影响了许多当时的和后来的人。卡瓦列里把图6.1所示的
面积看做无限多个他称之为不可分量的总和，这种不可分量被预先假设为直线段。然而
，卡瓦列里并不清楚所谓的不可分量究竟是什么，他只不过表明：如果把一块面积分割
为越来越小的小矩形，就像图6.3所示的那样，就可以得到不可分量。在他写的一本名叫
《六道几何练习题》（1647年）的书中，他解释说，面积由不可分量组成，就像一根项
链由珠子串成，一块布由线织成，一本书由许多页组成。他用这个概念设法比较了两个
面积，两个体积，得到了两者之间的正确关系。
卡瓦列里的做法不能令人满意，当时一个叫古尔丁(PaulGuldin)的人指责他不仅没有理
解希腊几何，反倒把它搞糊涂了。一位近代的史学家评价卡瓦列里的工作时说，如果有
一个专为晦涩难懂而设的奖，那就非他莫属。因为卡瓦列里不能解释无穷个元素，即它
的不可分量是怎么组成一个有限物体的，他以拒绝对他的不可分量作任何精确的解释而
避不作答。有时他求助于线段的无穷和而不能清楚地解释这种无穷和的本质，有时候，
他又说他的方法只是一个避免希腊人复杂的穷竭法的实用方法。更进一步，卡瓦列里争
辩说，当代几何学家们对于概念的态度比起他要随便得多，开普勒的《测量酒桶体积的
新科学》（1616年）就是一例。他接着说这些几何学家满足于仿效阿基米得求面积的方
法，但又没有给出像伟大的希腊人那样完整的证明。相反，他们满足于他们的计算，只
要结果有用就行了。卡瓦列里采用同样的观点，他说，他的做法能引向新的创造，而且
他的方法一点也没有强迫人们把一个几何结构看成是由无穷多个部分组成的；除了在面
积之间和体积之间建立正确的比之外，没有其他目的。但是这些比保持它们的意义和值
，而不管人们对于图形的构成有什么见解。做为最后一招，他把这个概念性问题归结于
哲学问题，因此就不重要了。“严密性”，他说，“是哲学所关心的事情，而不是几何
所关心的”。
帕斯卡支持卡瓦列里，在他的《致外省人书》（1658年）中他宣称不可分量的几何与古
典的希腊几何是一致的。“凡是能用不可分量的正确法则证明的东西，也能用古人的方
式去严格地证明。”更进一步，他说不可分量的方法必定会受到任何一个自称为几何学
者的数学家的承认，它和古代的方法只是语言上的不同。然而，帕斯卡对于严密性也有
矛盾心理，有时他辩护道，为了做正确的工作所必需的东西是专门的“技巧”，而不是
几何的逻辑，正如宗教对皈依的领会高于理智一样。在微积分中出现的几何悖论，如同
基督教中那里的荒唐事一样。几何中的不可分量与有限量之间的关系同人类的公正与上
帝的公正之间的关系是一样的。
还有，观点的正确与否常常是由心智决定的（见第二章）。帕斯卡在他的《思想录》中
写道：“我们不仅靠推理，而且也靠心智来认识真理。正是从这后一个来源中我们认识
了基本原理，推理在这一点上无法与心智匹敌。……而且正是基于我们心智和直觉知识
基础上的推理建立了其全部结论。”当然，帕斯卡并没有使卡瓦列里的方法变得更清楚
一点。
对微积分的创建贡献最大的是牛顿和莱布尼茨。牛顿很少涉及积分的概念，但他广泛地
使用导数。他求导数的方法基本就是费马的方法，然而，他对这个基本概念的逻辑正确
性更清楚一些，他写了三篇微积分方面的论文，而且他的巨著《自然哲学的数学原理》
先后出了三版。在他的第一篇论文中（1669年）他表述了求导数的方法，他评论这种方
法是“简短的解释而不是精确的证明。”在这里他用到了h和k是不可分量这样一个事实
。在他的第二篇论文中（1671年），声明他还做得更好些，因为他改变了对变量的观点
，先前他认为变量是离散变化的，h是终极的不可再分的单元，而现在，他认识到变量是
连续变化的，他说他已经把在第一篇论文中所用的那些关于不可分量的定义的苛刻条件
去除。然而，他在计算流数（关于导数的术语）时，方法与第一篇实质上是一样，在逻
辑上毫无长进。
在牛顿关于微积分的第三篇论文《求曲边形的面积》（1676年）中，他重申他已经放弃
了无穷小量（终极不可分量），接着，他批评了扔掉如前面(3)式中含h的项的做法。他
说：“在数学中，最微小的误差也不能忽略。”然后，对他的流数的含义又做了一番新
的解释，“流数，随我们的意愿，可以任意地接近于在尽可能小的等间隔时段中产生的
流量的增量，精确地说，它们是最初增量的最初的比，……”当然这样含糊不清的措词
无济于事。在计算流数的方法这个问题上，牛顿在第三篇论文中的逻辑如同第一篇论文
中同样的粗糙，他略去了所有高于h的一次幂的那些项，比如说h2，这样就得到了导数。
在他的巨著《自然哲学的数学原理》（1687年，第一版）中，牛顿对流数做了几种陈述
，他舍弃了终级不可分量而用了“消失的可分量”，即能够无穷地缩小的量。在《原理
》的第一版和第三版中，牛顿说：
量在其中消失的终极比，严格说来，不是终极量的比，而且它与无限减少的这些量所趋
近的极限之差虽然能比任何给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前既不能越过也不
能达到这个极限。
虽然这种解释根本说不上明白，但这已是牛顿对他所谓的流数给出的最明白的解释了。
在这里，牛顿触及到了关键的词“极限”(Limit)，但他并没有深究这个概念。
毫无疑问，他意识到了他对流数的解释是不能令人满意的，于是，可能在绝望之中，他
求助于物理意义。在《原理》中他写道：
以下关于没有消失量的终极比的观点值得商榷。因为在量消失以前，比就不是终极的，
而若量消失了，也就无所谓比了。同样以下观点也值得商榷，即当运动停止时，也没有
一个物体到达某一确定位置的终极速度。因为在物体到达某终极位置之前，速度不可能
是终极速度，而若物体到达极限位置，终极速度也就为零了。其实答案很简单。最后速
度的意思是：它既不是在物体到达最后位置，运动停止时之前的速度，也不是到达以后
的速度，而是正到达那一瞬间的速度。即物体以这样的速度到达它的最后位置并且停止
。同样的，就消失量的最后比来记，应理解为不是在量消失以前，也不是在消失以后，
而是正当它们消失时的比。
既然他的数学研究结果实际上都是正确的，牛顿就没在微积分的逻辑基础上花过多的时
间。在《原理》中，他用的是几何方法并且用几何方式给出关于极限的定理。很久以后
，他承认他用了分析的方法来发现《原理》中的定理，但是他还是从几何上来系统地证
明，以使他的观点像古人那样可靠。当然，这些几何证明一点也不严格，牛顿对欧氏几
何充满信心，但没有真实的证据可以显示它能对微积分有所支持。
莱布尼茨研究微积分的方法有所不同，他认为当h、k（他写成dx，dy）减小时，它们成
了“逐渐消失的量”或“无穷小量”。此时，h和k不为零，但比任何给定的数都要小，
因此，h的任意次幂，例如h2，h3肯定可以忽略，而且比值k/h就是我们所要求的量，即
导数，莱布尼茨用dy/dx表示。
莱布尼茨用几何表述h和k的方法是这样的，当P、Q是一条曲线上无限靠近的两点时，dx
是它们的横坐标之差，dy是它们的纵坐标之差（图6.4），而且，T点处的切线就与弧PQ
重合。因此，dy除以dx，就是切线的斜率，三角形PQR称做特征三角形，但这并不是莱布
尼茨首创的。帕斯卡和巴罗很早就用过。莱布尼茨研究过他们的著作，莱布尼茨还认为
三角形PQR与三角形STU相似，而且他用这个事实来证明有关dy/dx的一些结果。莱布尼茨
对积分的概念也做了广泛的研究。他独立地提出了前述(7)式用矩形求和的思想。然而，
从有限多个矩形面积和到无限多个矩形面积和这个过程是含糊不清的，他认为当h“无限
小”时，就得到了无穷和。他把这记作∫dx，并设法算出了类似这样的积分，而且实际
上，独自发现了我们现在所说的微积分基本定理。这个定理表明，可以通过求导数的逆
过程求得这个积分和（求原函数）。经过了大约十二年的努力，他终于在1684年在《教
师学报》上发表了他关于微积分的第一篇论文，他的朋友贝努利兄弟对其作了恰如其分
的评价，说它“与其说是解释，不如说是谜。”
牛顿和莱布尼茨的思想都不够清晰，而且都受到人们的批评。牛顿对于批评无动于衷，
莱布尼茨则不这样，他花了大量篇幅尝试去解释，特别是它关于无穷小量的概念。在168
9年刊于《教师学报》的一篇文章里，他说无穷小量不是真实的数，而是假想的数，但是
，他宣称这些假想的或理想的数服从于通常的规律。在这篇文章中他还分别用几何方法
来证明一个高阶无穷小量，比如说(dx)2，相对于低阶无穷小量，如dx，就像一个点对于
一条线，而dx对x就像一个点对于地球或地球的半径相对于宇宙的半径。他认为两个无穷
小量的比就是一个不确定量的商，但这个比值是可以用有限数表示的，例如，在几何中d
y与dx之比就是纵坐标与次切线之比（如图6.4中TU比SU）。
莱布尼茨工作受到了纽汶提(Bernhard Nieuwentijdt)的批评，莱布尼茨1695年在刊于《
教师学报》的一篇文章中对此予以回击。他谈到“过分苛刻”的批评者，并说过分的审
慎不应使我们抛弃创造的成果。然后，他说他的方法不同于阿基米得方法之处，只在于
所用的表达式，但他自己的方法更好地适用于发明的艺术。“无穷大”和“无穷小”仅
仅表示需要多大就多大和需要多小就多小的量，这是为了证明误差可以小于任何给定的
数，换句话说，就是没有误差。人们能用这种终极的东西——无穷大量和无穷小量——
作为一种工具，正如在代数里用虚根有极大的好处一样（此时我们应该回想一下在莱布
尼茨时代虚数的地位）。
1699年，莱布尼茨在给瓦里斯的一封信中给出了稍微有些不同的解释：
考虑这样一种无穷小量将是有用的，当寻找它们的比时，不把它们当作是零，但是只要
他们和无法相比的大量一起出现，就把它们舍弃。例如，如果我们有x+dx，就把dx舍弃
。但是如果我们求x+dx和x之间的差，情况就不同了。类似的，我们不能把xdx和dxdx并
列，因此如果我们要微分xy，就可以写出(x+dx)(y+dy)-xy=xdy+ydx+dxdy，但这里dxdy
不可比较地小于xdy+ydx。因此，在任何情况下，误差都小于任何有限的量。
到这时为止，莱布尼茨表明他的微积分只用到通常的数学概念，但是由于无法使他的批
评者满意，他提出了一个称为连续性原理的哲学原理。这个原理实际上和开普勒早已阐
述过的几乎一样。在莱布尼茨研究微积分学的早期，1678年3月19日给H·康林(Herman
Conring)的一封信中说，这个原理断言：“如果一个变量一直具有某一性质，则其极限
也具有同一性质。”在1687年给培尔(Pierre Bayle)的一封信中，莱布尼茨更充分地表
述了这个原理：“在任何假定的向任何终点的过渡中，允许制定一个普遍的推论，使最
后的终点也可以包括进去。”然后他运用这个原理为抛物
的假设，允许在一个普遍的道理下，也包括纵坐标x1y2越来越向确定的纵坐标x2y2靠近
并最终与它重合的情形（如图6.5）。很明显，在这种情况下dx成为0并且应该被忽略掉
……”莱布尼茨没有证明当dx为0时，应该给予方程左边的dx和dy什么意义。
当然，他说，绝对相等的东西总有一个绝对是无的差别。
然而，一个过渡的状态或者一个消失的状态是可以设想的，其中实际上仍然没有出现完
全的相等或者静止，……而是进入这样一种状态，即差小于任何给定的量，在这种状态
下，还得留一些差，一些速度，一些角度，但他们每个都是无穷小。……是否这样一个
从不等到相等的瞬时过渡……能够保持在严密的或者形而上学的意义中呢？或者无穷大
的扩展会越来越大，或者无穷小的扩展会越来越小，这是合法的考虑吗？目前，我承认
这可能尚未解决。……
如果当我们说到无穷大（或者更严格些说，无限制的大）或者无穷小量（即在我们的知
识中是最小的）时，就理解为我们意味着无限大的或者无穷小的量，即要多大就多大，
要多小就多小，使得任何人得到的误差可以小于某个指定的量，那就足够了。
在这些假定下，我们在1684年10月的《教师学报》中列出的算法的全部规则，都能够不
太麻烦地予以证明。
然后，莱布尼茨就讨论这些规则，但一点也没使它们更清晰。
他提出的连续性原理的确不是，今天也不是一个数学公理。然而他强调它，并且给出许
多与其相符的论据。例如在一封给瓦里斯的信中，莱布尼茨为他使用一个没有量的形式
的特征三角形，即量缩小为0之后，特征三角形的形式仍然存在作辩护，而且挑战性地反
问道：“谁不承认没有量的形式呢？”类似的，在1713年给格兰迪(Gvido Grandi)的一
封信中，他说，无穷小不是简单的、绝对的零，而是相对的零，即它是一个消失的量，
但仍保持它那正在消失的特征。然而，莱布尼茨在另外的时候又说，他不相信度量中真
正的无穷大或真正的无穷小。
一直到1716年他去世，莱布尼兹一直在解释他那些无穷小量及无穷大量的含义，这些解
释一点不比上面我们已经看过的更好。对他的微积分学，他自己一直没有清晰的明确的
概念或是逻辑的判断力。
牛顿和莱布尼茨的推理竟会如此粗糙，这真令人吃惊。在他们着手研究微积分之前，其
他伟大的数学家早已取得了可观的进展，他们两个人也都研读过前人的著作，事实上，
牛顿的老师巴罗，就用几何方法得出了一些基础性成果。当牛顿说：“如果说我比别人
看得更远些，那只是因为我站在巨人的肩膀上”时，这不只是谦虚而是事实。至于莱布
尼茨，他是最伟大的哲人之一，我们已提起过他在许多领域的贡献（见第三章），他智
慧的深度与广度可与亚里士多德相媲美。当然，微积分涉及到许多新的，微妙的思想，
即使是最富有创造力的头脑也未必能深刻理解他们自己的创造。
由于不能充分弄清楚概念和判别运算的正确与否，二人都依赖方法的多样和结论的彼此
一致而大胆地向前推进，尽管并不严谨。莱布尼茨虽然比牛顿对批评敏感，但却不如牛
顿严谨，莱布尼茨认为对他的做法最终验证取决于其有效性。他强调他所创造出的东西
的程序性或算法上的价值，在某种程度上，他确信只要他能清楚地表述并且恰当地运用
他的运算法则，就可以获得合理的，正确的结果，而不论所涉及的概念的意义是多么模
糊。他就像笛卡尔一样地富有远见卓识，他看到了新思想的深层内涵，毫不迟疑地认为
一门新科学即将诞生。
微积分的基础仍然不清楚，牛顿的支持者继续谈论最初比和终极比，而莱布尼茨的追随
者们则使用无穷小的非零量。由于这些不同方法的存在，更增加了建立合理逻辑基础的
难度。许多英国数学家也许由于主要是仍然为古希腊几何所束缚，更关心微积分的严密
性而不相信这两种方法，其他一些英国数学家选择了牛顿而不是数学做为研究对象，因
此朝着严密化的方向没能有什么进展。这样，17世纪就随着微积分、算术及代数的一片
混乱结束了。
尽管面临众多的反对意见，但是，18世纪伟大的数学家不仅极大地扩展了微积分学而且
从中导出了一些全新的学科：无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法
及复变函数，这些统称为分析的学科，现在是数学的核心部分。甚至连那些怀疑论者和
批评家也在这些扩充中任意地使用各种类型的数和代数。微积分的运算，仿佛在逻辑基
础上不再有任何问题了。
从微积分学到这些新分支的扩展引入了新概念、新方法，使得微积分的严密性问题更加
复杂，对无穷级数的处理也许可以用来解释一下这些新添的麻烦。先让我们看一下无穷
级数给数学家们带来的问题。
在这里，点表示这个式子按已列出的几项的形式无穷延续下去。无T穷级数引入微积分的
原义是用它们代替函数进行运算，比如说求导及求原函数，因为从技术上来说，用级数
中较简单的项更易于进行这些运算。而且函数，例如sinx的级数还被用来计算函数的值
，在所有这些用法中，最重要的是知道级数是否与函数相等。当x被赋予一个值时，函数
也相应地有一个值，关于级数必须提出的第一个问题是：对于一个给定的x值，级数会得
到一个什么值？换句话说，无穷级数的和意味着什么？我们又怎么去求它？第二个问题
是：是否对所有的x值，级数都表示函数或者最少是对于使函数有意义的值？
在他论述微积分的第一篇论文中（1669年），牛顿自以为是地引入无
了二项式定理，得到
y=1-x2+x4-x6+x8-……
然后逐项积分，注意到如果用函数的另一种写法y=1/(x2+1)，则用二项式定理得到
他接着说道，当x足够小时，用第一个展开式；但当x较大时，就用第二个展开式。这样
，他就对我们今天所称的收敛性的重要性有了些许认识，但他对此并没有明确概念。
用牛顿对他使用无穷级数的评价可以说明那个时代的逻辑，在1669年的这篇文章中他写
道：
任何事情，只要是普通分析（代数学）能够通过有限多项的方程去做的（只要能做的话
），也能够通过无限多项的方程（级数）去做，这就使我毫无疑问地把这后一种也称为
分析。因为后一种推理的确定性不少于前一种，后一种方程的精确性也不少于前一种。
不过，我们这些凡人的推理力量，是局限在狭窄的范围内的，所以既不能表达，也无法
去想象方程的一切项，使得能够从中确知所求的量。
这样对牛顿来说，无穷级数只是代数学的一部分，是一种处理无穷多项而不是有限多项
的较高级的代数。
在牛顿、莱布尼茨、贝努利家族、欧拉、达兰贝尔、拉格朗日和其他18世纪的数学家努
力研究无穷级数的古怪问题，并把它用于分析之时，他们酿下了各种大错，做出许多错
误的证明，因而得出许多错误的结论；他们甚至还给出了一些我们现在看来荒唐可笑的
证明，我们可以略举一例以说明他们在处理无穷级数时的迷惑与混乱。
当x=1，表示1/（1+x）的级数(8)
变为
1-1+1-1+1…
这个级数的和是多少？这个问题引起了无休无止的争论。把级数写成如下方式
(1-1)+(1-1)+(1-1)+…
看起来似乎很清楚，和就是零，然而，把级数写成另一种方式
1-(1-1)-(1-1)-…
似乎同样很清楚，和为1。但如果用s代表级数之和，有
s=1-(1-1+1-1+…)
或 s=(1-s)，
因此s=1/2。这最后一个结果也为其他证据所支持。这个级数是公比
格兰迪在他的小册子《圆和双曲线的方程》（1713年）中，用其他的方法得到了第三个
结果。他在方程（8）中令x=1，得到
证明，世界能够从空无一物创造出来。
在1713年的《教师学报》上发表的莱布尼茨写给沃尔夫(Christian Wolf)的一封信中，
他也谈到这个级数，他同意格兰迪的结果，但他认为可以不借助于原来的函数求得这个
结果。他认为，如果取级数的第一项，前两项的和、前三项的和等等，就得到1,0,1,0,1
……可以看出来，1和0有同样的可能性，因此就应该取算术平均值为和，也就是1/2，这
也是最可能的结果，这个证明为贝努利家族及拉格朗日所接受。莱布尼茨承认他的证明
中形而上学的成分多于数学的成分，但他接着说，在数学中，存在我们通常承认的更为
形而上学的真理。
在欧拉1745年的一封信和1754年（或1755年）的一篇论文中，他探讨了级数求和的问题
。一个级数，如果不断增加其项数，它就能越来越逼近一个常数，就说这个级数是收敛
的，这个常数就是它的和。按欧拉所说的，当一个级数的各项递减时它就是收敛的。反
之，若级数的各项不减少，甚至增加，那么它就是发散的。他说，由于这种级数来自于
已知的显函数，我们可以取这个函数的值做为级数的和。
欧拉的理论又导致了新的问题，他处理了下述展开式：
当x=-1时，得到
∞=1+2+3+4+……
时，也就是
让x=2，那么
-1=1+2+4+8+…
由于这个级数右边各项的和应超过上一个级数各项之和，欧拉得出结论：-1比无穷大更
大。欧拉同时代的一些人则认为负数大于无穷大不同于负数小于零，欧拉不同意这点，
并且认为∞正像零一样把正数、负数分隔开来。
欧拉关于收敛与发散的见解并不正确，即使在他所处的年代里，从他所讲的意义上说，
逐项递减的级数也没有和，而且他自己也用不是从显函数导出的级数进行研究。因此，
他的“理论”是不完善的。此外，尼古拉·贝努利(Nicholas Bernoulli)在1743年给欧
拉的一封信中，他一定向欧拉指出了同样的级数可以从不同的展开式中得到，因此按欧
拉的定义，必须给这个级数不同的值。但是欧拉在回复哥德巴赫(Christian Goldbach)
的一封信中说尼古拉·贝努利没有给出一个例子来，他自己也不相信同一级数会出自两
个确实不同的代数式。然而卡莱(Jean-CharlesCallet)真的给出了一个这样的例子，拉
格朗日试图去证明对它应当不予理睬，但后来人们看出这个证明是错误的。
再加上其他一些原因，欧拉对无穷级数的处理是不合适的。级数可以被微分或积分，它
的微分和积分又导致函数的微分或积分，这样做的正确性必须加以证明。然而，欧拉宣
称“无论如何，一个无穷级数可作为某些有尽的表达（函数的公式）的展开而得到，在
数学运算中它可以用作与那些表达式等价的东西，甚至对那些使级数发散的变量也是如
此。”因此，他说，我们能够保留发散级数的功用，并且保护其免受指责。
其他18世纪的数学家们也意识到必须区分我们今天所称的收敛级数与发散级数的特征，
尽管他们对这种特征是什么一无所知。困难当然是在于他们研究的是一个新概念，像所
有先驱者一样，他们必须在丛林中披荆斩棘。当然，为莱布尼茨、欧拉和拉格朗日所接
受的牛顿的最初的想法，即级数只不过是长的多项式，因此应归到代数学范围内，是不
能用来严格地讨论级数的。
在18世纪无穷级数方面的工作中，形式的观点占据统治地位。在他们的运算中，数学家
们a甚至憎恨任何限制，例如必须考虑收敛性。他们的工作产生了许多有用的结果而且他
们也就满足于得到实用的支持，他们确已超越了他们所能给出正确理由的界限，但他们
在运用发散级数时，总的来说，还是谨慎的。
虽然数系和代数学的逻辑处境并不比微积分的更好，数学家们还是聚焦于微积分并试图
巩固其松散的逻辑基础。造成这种情况的原因无疑是到1700年时，各种类型的数看起来
都很接近，也显得更自然一些了。然而微积分的概念，仍是陌生、神秘的，似乎难以接
受。再说，在数的使用中没有什么矛盾，而在微积分及其扩展无穷级数与其他分支中，
确实产生了矛盾。
虽然莱布尼茨研究微积分的方法更流畅也更便于使用，但就严格性来说，牛顿的方法实
际上可能更容易些。英国人还认为可以将这两种方法与欧氏几何联系起来，从而保证其
严密性，但他们混淆了牛顿的瞬间（moment，不可分割的增量）与他的连续变量的应用
。大陆上的数学家们则追随莱布尼茨，并且力图把他的微分概念严密化。解释和评价牛
顿与莱布尼茨的方法的书卷帙浩繁且谬误连篇，甚至经不起推敲。
数学家们尽管做出了种种努力来使微积分严密化，一些思想家还是抨击其合理性，尤以
哲学家贝克莱为最。他害怕数学激发的机械论和决定论哲学信仰对宗教造成日益增大的
威胁。1734年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家①，其中审查现代分析
对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书
。“先除掉你自己眼睛里的障碍，你才能看得清去擦掉你兄弟眼中的灰尘”。贝克莱抱
怨数学家们的推理晦涩难懂、玄奥莫测，他们对自己的每一步既没有给出逻辑，也没有
说明理由。贝克莱批评了牛顿很多的观点，他特别指出牛顿在他的论文《求曲边形的面
积》中（用x作为我们用h表示的增量）进行了一些代数运算，然后又忽略了含h的项，因
为h现在是零了（比较(4)式）。贝克莱说，这是对矛盾律②的蔑视，神学中不允许这样
的推理。他说，一阶流数（一阶导数）似乎超出了人们的理解能力，因为它们超出了有
限的范围。
如果一阶流数尚且不可理解，那么二阶、三阶或更高阶呢？那能够构想出开端的开端，
抑或末尾的末尾的人……或许其睿智的大脑足以构想这一切，但依我看，绝大部分的人
会发现，想在任何意义上理解它们都是不可能的……我想，那些能消化得了二阶流数或
三阶流数的人，是不会吞食了神学观点就要呕吐的。
谈到关于h和k的消失，贝克莱说：“在我们假设增量消失时，理所当然，也得假设它的
大小、表达式以及其他，由于它的存在而随之而来的一切也随之而消失。”至于被牛顿
用瞬时量h和k的比弄得更复杂的导数，“它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不
是无。我们只能称其为消失了的量的鬼魂”。
同样的，贝克莱也批评莱布尼茨的方法。在他早期的著作《人类知识原理》（1710年出
版，1734年修订版）中，他这样攻击莱布尼茨的概念：
有一些著名人物，不满足于知晓一条有限直线可以分成无穷多个部分，还进一步认为每
一个这样的无穷小量又可分成无穷多个部分，即二阶无穷小量((dx)2)等，他们总说有无
穷小的无穷小的无穷小，没完没了，而另一些人则掌握了低于一阶的无穷小到空无一物
。
他继续在《分析学者》里攻击莱布尼茨：
莱布尼茨及其追随者，在进行微分运算时，竟从不脸红地首先承认，然后又舍弃无穷小
量。稍具思考能力的人，在理解时仔细些，在推理时公平些，就不会接受这样的估计。
贝克莱认为，从几何上来看，微分之比应该确定割线的斜率，而不是切线的斜率，忽略
了高阶无穷小才消除了误差，因此，“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结
果”，这是因为错误互相抵消的缘故。他还挑中二阶微分，即莱布尼茨的d(dx)作文章，
因为d(dx)是dx的微分，而dx本身是一个很难识别的量。
关于牛顿和莱布尼茨的方法，贝克莱反问道：“难道我们这个时期的数学家也像科学家
一样了吗？只花大气力去应用自己的理论却不设法理解它们。”“在每一门其他科学中
，人们用他们的原理证明他们的结论，而不是用结论来证明他们的原理”。
贝克莱用一连串的质问结束了《分析学者》一书，谨摘录若干如下：
那些对宗教如此敏感的数学家们会严谨认真地对待自己的科学吗？他们会不屈从于权威
、不盲目轻信和相信那些不可思议的观点吗？他们就没有属于自己的秘密，甚至抵触和
矛盾吗？
许多数学家回击了贝克莱的批评，但没人能成功地使微积分严密化。在这方面，欧拉做
出了重大的努力。欧拉拒绝把几何作为微积分的基础，他试图纯粹形式地研究函数，即
从它们的代数（分析）表达式来论证。他否定了莱布尼茨的无穷小概念，即所谓不等于
零却小于任意一个给定值的数。在欧拉的《微分学原理》，1755年出版的一部18世纪的
微分学经典著作中，他论证道：
无疑，任何一个量可减小到完全消失的程度。但是，一个无穷小量无非是一个正在消失
的量，因为它本身就等于0，这与无穷小量的定义也是协调的，按照无穷小的定义，它应
小于任一指定的量，它无疑应当就是无，因为除非它等于0，否则总能给它指定一个和它
相等的量，而这是与假设矛盾的。
既然无穷小dx（用莱布尼茨的记号）等于零了，那么(dx)2，(dx)3肯定也为零，因为按
惯例，这些量被称为dx的高阶无穷小。于是，对莱布尼茨来说，他的无穷小之比dy/dx，
在欧拉眼里即为0/0，但0/0是多值的。欧拉的理由是任何数乘以零还得零，若用零作被
除数，有0/0=n。对
y=x2为例，给x一个增量h（他用ω），此时，h不为0（比较前述(1)至(4)），得到
k/h=2x+h
此时，莱布尼茨允许h为无穷小，但不为0，而欧拉说h就是0，所以在
欧拉强调说，这些微分，即h和k的最终值，是绝对的0，因为他只知道它们相互的比值最
终化为一个有限值，此外推不出任何其他东西。在《原理》第三章中，欧拉更多地谈到
这个性质，他在那儿鼓励读者说，导数并不像通常认为的那样隐藏着极大的神秘性，而
那种神秘性使许多人心目中怀疑微积分。当然，欧拉求导数的方法的正确程度并不比牛
顿和莱布尼茨更高。
欧拉在他那形式的并非正确的对微积分的探讨中所做的贡献是将其从几何学中解放出来
，并将其建立在算术和代数的基础上。这至少为最终将微积分的合理性建立在数的基础
上开辟了道路。
18世纪后期，对建立微积分基础最雄心勃勃的尝试来自拉格朗日。像贝克莱及其他人一
样，他认为微积分是由于相互抵偿才得到正确结果。在他的《解析函数论》（1797年初
版，1813年再版）中，他完成了他的重建工作。这本书的副标题是：“包含着微积分的
主要定理，不用无穷小或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为有限量的代数
分析艺术”（着重号为拉格朗日所加）。
拉格朗日批评牛顿的方法时指出：关于弦与弧的极限比，牛顿认为弦与弧不是在它们消
失前或消失后相等，而是当它们消失时相等。拉格朗日正确地说明：
此方法有很大不便，即它把所考虑的量不再是量的状态下，仍看作是量。因为对两个量
，只要它们还保持有限，就总可以适当地构想出它们的比，可一旦它们都变为无，这个
比在我们脑海里就不再提供任何清晰而明确的想法了。
他同样地不满意莱布尼茨的无穷小量和欧拉的绝对零，这两者“虽然在实践中是正确的
，但作为一门科学的基础仍不够清晰，因为科学的确定性应基于自身的证据”。
拉格朗日想给微积分提供类似于古人论证那样的全部严密性，并且他提出要把微积分归
结为代数来做到这一点。特别是，拉格朗日提出用无穷级数（级数被认为是代数的一部
分，但其逻辑比微积分的逻辑更为混乱）来严格地奠定微积分的基础。然后他“谦虚”
地说，他的那种方法竟没有被牛顿想到，实在不可思议。
我们无需去追究拉格朗日所搞的微积分基础的细节，除了完全不合理地使用无穷级数外
，他只做了一大堆代数推导，而这些，更不利于让读者明白合理的导数定义有多么缺乏
。实际上，他所做的与他的前辈一样的粗糙，拉格朗日确信他已省却极限概念且已将微
积分建立在代数之上。尽管他存在错误，其基础仍被他的许多杰出继承者所接受。
在写于1797—1800年的一部很有影响的三卷本著作《微积分学教程》中，拉格朗日的追
随者拉克鲁瓦（Sylvestre-FrancoisLacroix）确信微积分仅仅只是代数的扩充。在《教
程》的一卷本（1802年）中，拉克鲁瓦用到了极限理论（从这点上看，这个理论那时已
被理解），但他说只是为了节省篇幅。
19世纪初的一些英国数学家决心接受先进的大陆的分析工作。巴贝奇(Charles
Babbage)、赫歇耳(John Herschel)和皮科克(George Peacock)，他们作为剑桥的毕业生
成立了分析学会，翻译了拉克鲁瓦的《教程》一卷本，并在前言中写到：
现在我们将拉克鲁瓦著作的译本献给公众，可以视其为他在微积分学方面伟大工作的缩
略，虽然在基本原理的证明中，达兰贝尔的极限理论替代了拉格朗日极其正确的自然的
方法，但后者在这本书的三卷本中被采用了……
皮科克声称极限理论令人难以接受，因为它把微分的原理与代数分隔开来，赫歇耳和巴
贝奇也同意这种观点。
在18世纪后期，数学界很清楚微积分急需合适的基础。在拉格朗日的提议下，柏林科学
院数学分部（1766—1787年拉格朗日任主任）于1784年设立，并于1786年颁发一个奖项
，以奖励对数学中的无穷问题的最佳解答。这个竞赛的宣言如下：
数学的功用，它所受到的尊敬，“精确科学”这一极为贴切的桂冠，源于其原理的清晰
、证明的严密及定理的精确。
为了确保知识体系中这一精致部分这些富有价值的优势，需要对其所谓极限问题有一个
清晰、精确的理论。
众所周知，高等几何（数学）经常使用无穷大和无穷小，然而，古代的几何学家甚至分
析学者煞费苦心地去避开导致无穷的任何事物，一些当代著名分析学者则承认无穷量的
术语是矛盾的。因此，科学院期望一个解释来说明为什么从一个矛盾的假设却推出了那
么多正确的理论，还希望有一个确切、清晰的描述，简而言之，一个真正的数学原理。
它也许可以完全代替无穷，却又不致使按其方法进行的研究过分困难或过分冗长，这就
须要处理这个课题时有尽可能的普遍性，尽可能的严密、清晰和简洁。
这次竞赛面向除科学院的正式成员以外的所有人，总共有23篇应征论文，竞赛的正式结
果如下：
科学院收到了许多关于这个课题的论文，它们的作者都忽略了解释为什么从一个矛盾的
假设，比如无穷大量，推出那么多正确的结论。他们都或多或少地忽略了对清晰性、简
洁性的要求，还有竞赛所要求的严密性。多数论文甚至没有看出来所寻求的原理不应局
限于微积分，而应扩展到用古代的方法研究的代数和几何中去。
科学院认为我们的问题没有得到满意的答复。
然而，我们也发现最接近目标的参赛者是一篇法语论文的作者，他题写的格言是“无穷
，是吞没我们思想的深渊”。因此，科学院投票决定他得奖。
获奖者是瑞士数学家惠利尔(Simon L'Huillier)，同年，即1786年，柏林科学院公布了
他的论文《高等微积分的基本评注》。无疑，柏林科学院数学部的判断本质上是正确的
，其他论文（除了卡诺的一篇，见第七章）甚至根本就没有尝试去解释为什么从错误的
假设出发而建立的无穷小分析的理论是正确的。惠利尔的论文肯定是出类拔萃的，尽管
其基本思想毫无新意而言。惠利尔说，他的文章表述了达兰贝尔仅仅构想出一个轮廓的
思想（发表于《百科全书》及《杂集》的一篇文章《微分》）的发展。在《评注》开头
的一章中，惠利尔一定程度上改进了极限的理论。他第一次在印刷品上引入Lim作为极限
的符号。这样，他把导数dp/ dx记作Lim△p/△x（我们的k/h），但他对极限理论的贡献
是微乎其微的。
尽管几乎18世纪的每位数学家都在微积分的逻辑上做了努力，或至少表示了他们的看法
，其中也有一、两个走对了路的，但他们所有的努力都是没有多大用处的。任何棘手的
问题都被有意避开或是漠然视之，人们很难区别很大的数与无穷数，看起来似乎很清楚
适用于任何有限数n的理论，当n无穷时也一定适用。同样，差商k/h（见(3)式）被导数
所代替，有限项的和（见(7)式）与积分也很难区分。数学家们在有限与无限之间随意通
行，他们的工作可以用伏尔泰对微积分的描述来概括，他称微积分为“计算与度量一个
其存在性是不可思议的事物的艺术。”一个世纪来，尤其是欧拉、拉格朗日这样的大师
使微积分严密化的努力的最终结果，误导了他们的同代人以及后来者，并且搞混了他们
的思想。总的来说，他们那么明目张胆地犯错，以致于人们对数学家能否弄清他们所涉
及到的逻辑感到绝望。
数学家们相信符号远胜于相信逻辑，因为无穷级数对于所有的x值有相同的符号形式，使
得级数发散或收敛的x值之间的不同看起来并不须要加以注意，而且即使人们承认有些级
数，比如说1+2+3+…，和为无穷，数学家们倾向赋予这个和以意义，而不去怀疑其可适
用性。当然，他们完全清楚对某些证明的需要。我们已经看到了欧拉的确曾力图证明他
使用无穷级数的正确性，而且他和拉格朗日还有其他一些人还尝试建立微积分的基础。
但这些求得严密性——其标准随时间而变——的少许努力并没有在这个世纪成功，人们
也几乎情愿选择这样一种得过且过的处世哲学。
18世纪的思想家们所采用的论据的一个奇怪的特点是它们求助于形而上学，人们用它来
暗示数学领域之外还存在一个真理体系，如果需要的话，可以用它来检验他们的工作。
虽说它究竟是什么还不清楚，但应用形而上学意在给那些不为推理所支持的论点增强可
信度。因此，莱布尼茨宣称形而上学的用处比我们认识到的要多。他把1/2作为级数1-1+
1-……的和的证明和他提出的连续性原理，都只不过重申了上述观点。它们被“证明”
是形而上学的，仿佛这样就不容置疑了。欧拉也求助于它，认为在分析中也必须默认它
，当17、18世纪的数学家们不能为一个观点提供更好的证明时，他们就惯于说这其中的
理由是形而上学的。
因此，在18世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础上的分析的其他分支的逻辑处于
一种完全混乱的状态之中，事实上，可以说微积分基础方面的状况，在1800年比1700年
更差。数学巨匠，尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础。因为他们是权威，
他们的许多同事接受了并不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们所给出的基础上
进一步发展。其他稍逊一筹的数学家则对此颇有微辞，但他们充满信心地认为只须稍加
澄清或小修小补就可以得到一个完全清晰明确的基础。当然，他们被引上了一条错误的
路。
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① 1米=3.2808英尺——译注
① “不信教的数学家”指哈雷。据传，当时贝克莱的朋友病危但拒绝祈祷，说不信教的
哈雷使他很难相信宗教教义。——译注
② 矛盾律是一条逻辑原理：一事物不能同时既属于又不属于一特定的类（如既是桌子又
不是桌子），或者既处于又不处于一特定状态（如既是红的又不是红的）。——译注
标 题: 数学：确定性的丧失(7)
发信站: 北大未名站 (2002年10月23日22:36:32 星期三), 转信
第六章 不合逻辑的发展：分析的困境
任何研究工作的开端，几乎都是极不完美的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目
的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能
将正确的途径示以他人。……可以这样说，为了寻求真理，我们是注定要经历挫折和失
败的。
——狄德罗
数学家们以微积分为核心的分析是建立在算术与代数虚构的逻辑基础及欧几里得几何有
争议的基础之上的。微积分是全部数学中最微妙的一个学科，一想到我们在较为简单的
领域中所发现的那些缺陷，不难想象，微积分中的一系列概念和逻辑结构肯定令数学家
们智穷力竭了。事实确实如此。
微积分使用了函数的概念。简单地说，函数是变量之间的一种关系。例如，当一个球从
房顶落下时，下落距离和下落时间同时增加。如果我们忽略空气阻力，那么距离和时间
这两个变量之间的函数关系可以用关系式d=16t2来表示，在这里，t指下落时间，单位是
秒；d指时间t内下落的距离，单位是英尺WL0068_0125_0①。
任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或几百年以前，函数的概念也是如此。然而，
直到17世纪，人们对函数才有了明确的理解。历史的细节并不重要，重要的是这样一个
事实：虽然函数的概念易于理解，但即使是最简单的函数也涉及到所有形式的实数。因
此，在上面这个例子里，肯
时并不被人们充分了解。于是，人们在处理数字时就跳过逻辑，对函数也是如此。然而
，在1650年以前，无理数被人们随心所欲地使用，这种错误也就被掩饰了。
微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这
样，除了用来处理数字所需的基础之外，它们还需要逻辑方面的基础。
17世纪最伟大的数学家们着手处理这两个概念。这些学者中最著名的有开普勒，笛卡尔
，卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)、费马、帕斯卡、詹姆斯·格雷戈里(James
Gregory)、罗伯瓦尔(Gilles Persone de Roberval)、惠更斯、巴罗、瓦里斯，当然还
有牛顿和莱布尼茨。上述每个人都在定义、计算微分和定积分方面做出了各自的贡献。
有些人用的是纯几何推理的方法，有些人用的是纯代数推理的方法，还有些人兼而用之
。我们关注的是这些人坚持数学推理这一标准的好坏程度，为了达到这一目的，举几个
典型的例子就够了。事实上，这其中许多方法都很类似，不值得在这里多说。
正如牛顿所做的那样，理解导数之本质最好的方法是考虑速度。如果一个物体在4秒内运
动了200英尺，我们可以说平均速度是每秒50英尺。如果物体是匀速运动的，平均速度也
就是4秒内每一时刻的速度。然而，绝大多数运动都不是匀速的，一个落向地面的物体，
一颗从枪中射出的子弹和一颗围绕太阳运转的行星都在不停地改变运动速度。很多情况
下，我们必须知道某些特定时刻的速度。例如，当子弹射中人的一瞬间的速度是非常重
要的，如果这个速度是零，子弹就会落在地上，如果是1000英尺/ 秒，被射中的人就会
倒在地上。这里所指的时刻是指长度为零的一段时间。此时，物体移动的距离也为零。
因此，如果我们像计算平均速度那样计算瞬时速度，用走过的路程除以时间，结果就是0
/0，这是毫无意义的。
17世纪的数学家们依稀看到了摆脱这种困境的方法，但是并没有抓住它。这种方法也许
可以这样描述：假设一个物体正在向地面落去，我们想知道下落后第四秒时它的速度。
现在，如果我们考虑用物体下落中时间间隔来代替时刻，用它在这一段时间间隔内下降
的距离除以所用时间，就得到了这一间隔中物体的平均速度。我们可以计算从第四秒起
，在1/2秒，1/4秒，1/8秒…内的平均速度。这个时间间隔越短，计算出来的平均速度肯
定越接近第四秒时的速度。若预先假定我们所要做的就是计算不同时间间隔内的平均速
度并且研究它们会趋近于哪一个数，这个数就是我们所要求的第四秒时的瞬时速度。这
个方案看起来不无道理，但是我们应当看到事实上还有许多内在的困难。但不管怎么说
，如果我们能计算出第四秒时的速度，我们就把它称作d=16t2在t=4秒时的导数。
如果使用数学符号来表达上面这段话，我们会更清楚地看到困难所在。这些表达式，尤
其是最后被大家所接受的那个，应归功于费马。下面我们计算一个下落的小球在第四秒
时的速度。这个小球的运动状态可用
d=162
(1)
描述。当t=4时，d=16×42=256，设任意一个时间增量是h，在第（4＋h）秒时，小球会
下降256英尺加上距离增量k，有
256+k=16(4+h)2=16(16+8h+h2)
或
256+k=256+128h+16h2
两边都减去256
得 k=128h+16h2
在时间h秒内的平均速度为
幸运的是，费马用了这样一个简单的函数而且认为可以在上式右边分子、分母同除以h，
这样就得到了
然后，他令h=0，得到
d=128 (4)
作为第四秒时的下落速度（符号d是牛顿发明的）。这里的d就是函数d=16t2在t=4秒时的
导数。
推导的问题在于：开始，h不为零，所以才能进行分子、分母同除以h的运算，即(3)式只
有在h≠0时才正确，这样就不能令h=0而得出结论。而且，对于d=16t2这样简单的函数，
(2)式可以简化为(3)，而对于更复杂的函数，我们只能导出类似于(2)式的结果，这样，
当h=0时，k/h就是0/0，这是没有意义的。
费马一直没能证明他所做的这些，事实上，虽然必须承认他是微积分学的创始人之一，
但他并没能把这项工作非常深入地进行下去。在他能对正在研究的想法给予充分的证明
之前，他总是非常谨慎地不公布任何一般的定理。由于他能给出一个几何的解释，所以
他还是满意地得到了正确的推导过程，而且他坚信最终可以得到一个合理的几何证明。
使微积分的创立者们迷惑不解的第二个概念就是定积分。在计算由图形所围的总面积或
曲线下的部分面积，由图形表面围住的体积以及各种不同形状物体的重心时，都要用到
定积分的概念。为了弄清楚困难所在，我们来看下面这个问题。即求出一条曲线下的面
积。
如图(6.1)所示，曲线GF的方程为y=x2，求出由弧GF，x轴上线段DE和垂直线段DG、FE围
住的图形DEFG的面积。
图6.1
图6.2
这里，我们得通过逐次逼近来求得整个面积，就像17世纪的数学家们所做的那样。我们
把间隔DE分为等长的三段，每段长h，把分点记为D1、D2和D3，D3也就是E点（图6.2）。
把分点处对应的坐标值记为y1、y2和y3，y1h、y2h、y3h就是图中所示矩形的面积，它们
的和
y1h + y2h + y3h (5)
就是面积DEFG的一个近似值。
用更多、更小的矩形，我们就能得到面积DEFG更精确的近似值。假设我们把DE分成六段
。图6.3显示出了图6.2中的中间那个矩形发生的变化，它被两个小的矩形代替了。由于
我们用每个分点处的y值做为矩形的高度，图6.3中所示的阴影面积就不再是用来表示面
积DEFG的近似值的六个矩形面积和的一部分了。因此，和式
y1h + y2h + y3h + y4h + y5h + y6h (6)
就比和式(5)更精确地近似于DEFG的面积。
我们可以对上述近似过程做一个一般性的描述，假设把DE分为n等分，就会有n个矩形，
每个宽度都是h，每个分点的y值为y1，y2，…，yn，省略号表示分割的所有中间y值。n
个矩形面积的总和就是
y1h + y2h +…+ynh (7)
图6.3
这里省略号表示所有中间的矩形面积。考虑如上所述的把DE细分的效果，可知n越大，面
积和(7)就越近似于所求的DEFG的面积。当然，n越大，h越小，因为h=DE/n，于是，我们
通过这个例子看出用矩形可实现对曲线下面积的逐渐逼近。
直观地看，矩形越多，其面积和就越接近于所求曲线下的面积。17世纪的数学家们解决
这个问题的办法是让n变成无穷大。然而，无穷大的含义本身就不清楚。它是一个数吗?
如果是，怎样对它进行计算呢？当费马推导出如同(7)式那样的n个矩形的面积和的表达
式时，他肯定发现其中包含如1/n和1/n2的项。当n无穷大时，他认为它们可以忽略不计
因而略去了。就像在上述求导数的例子中一样，费马也可以精确地证明，很有可能是用
欧多克斯的穷竭法（一种有限而且相当复杂的几何方法，阿基米得用得相当熟练）。
早期用定积分计算面积和体积的工作中，也许卡瓦列里值得一提。因为他是那个时代含
糊不清的思考方式的典型，而且影响了许多当时的和后来的人。卡瓦列里把图6.1所示的
面积看做无限多个他称之为不可分量的总和，这种不可分量被预先假设为直线段。然而
，卡瓦列里并不清楚所谓的不可分量究竟是什么，他只不过表明：如果把一块面积分割
为越来越小的小矩形，就像图6.3所示的那样，就可以得到不可分量。在他写的一本名叫
《六道几何练习题》（1647年）的书中，他解释说，面积由不可分量组成，就像一根项
链由珠子串成，一块布由线织成，一本书由许多页组成。他用这个概念设法比较了两个
面积，两个体积，得到了两者之间的正确关系。
卡瓦列里的做法不能令人满意，当时一个叫古尔丁(PaulGuldin)的人指责他不仅没有理
解希腊几何，反倒把它搞糊涂了。一位近代的史学家评价卡瓦列里的工作时说，如果有
一个专为晦涩难懂而设的奖，那就非他莫属。因为卡瓦列里不能解释无穷个元素，即它
的不可分量是怎么组成一个有限物体的，他以拒绝对他的不可分量作任何精确的解释而
避不作答。有时他求助于线段的无穷和而不能清楚地解释这种无穷和的本质，有时候，
他又说他的方法只是一个避免希腊人复杂的穷竭法的实用方法。更进一步，卡瓦列里争
辩说，当代几何学家们对于概念的态度比起他要随便得多，开普勒的《测量酒桶体积的
新科学》（1616年）就是一例。他接着说这些几何学家满足于仿效阿基米得求面积的方
法，但又没有给出像伟大的希腊人那样完整的证明。相反，他们满足于他们的计算，只
要结果有用就行了。卡瓦列里采用同样的观点，他说，他的做法能引向新的创造，而且
他的方法一点也没有强迫人们把一个几何结构看成是由无穷多个部分组成的；除了在面
积之间和体积之间建立正确的比之外，没有其他目的。但是这些比保持它们的意义和值
，而不管人们对于图形的构成有什么见解。做为最后一招，他把这个概念性问题归结于
哲学问题，因此就不重要了。“严密性”，他说，“是哲学所关心的事情，而不是几何
所关心的”。
帕斯卡支持卡瓦列里，在他的《致外省人书》（1658年）中他宣称不可分量的几何与古
典的希腊几何是一致的。“凡是能用不可分量的正确法则证明的东西，也能用古人的方
式去严格地证明。”更进一步，他说不可分量的方法必定会受到任何一个自称为几何学
者的数学家的承认，它和古代的方法只是语言上的不同。然而，帕斯卡对于严密性也有
矛盾心理，有时他辩护道，为了做正确的工作所必需的东西是专门的“技巧”，而不是
几何的逻辑，正如宗教对皈依的领会高于理智一样。在微积分中出现的几何悖论，如同
基督教中那里的荒唐事一样。几何中的不可分量与有限量之间的关系同人类的公正与上
帝的公正之间的关系是一样的。
还有，观点的正确与否常常是由心智决定的（见第二章）。帕斯卡在他的《思想录》中
写道：“我们不仅靠推理，而且也靠心智来认识真理。正是从这后一个来源中我们认识
了基本原理，推理在这一点上无法与心智匹敌。……而且正是基于我们心智和直觉知识
基础上的推理建立了其全部结论。”当然，帕斯卡并没有使卡瓦列里的方法变得更清楚
一点。
对微积分的创建贡献最大的是牛顿和莱布尼茨。牛顿很少涉及积分的概念，但他广泛地
使用导数。他求导数的方法基本就是费马的方法，然而，他对这个基本概念的逻辑正确
性更清楚一些，他写了三篇微积分方面的论文，而且他的巨著《自然哲学的数学原理》
先后出了三版。在他的第一篇论文中（1669年）他表述了求导数的方法，他评论这种方
法是“简短的解释而不是精确的证明。”在这里他用到了h和k是不可分量这样一个事实
。在他的第二篇论文中（1671年），声明他还做得更好些，因为他改变了对变量的观点
，先前他认为变量是离散变化的，h是终极的不可再分的单元，而现在，他认识到变量是
连续变化的，他说他已经把在第一篇论文中所用的那些关于不可分量的定义的苛刻条件
去除。然而，他在计算流数（关于导数的术语）时，方法与第一篇实质上是一样，在逻
辑上毫无长进。
在牛顿关于微积分的第三篇论文《求曲边形的面积》（1676年）中，他重申他已经放弃
了无穷小量（终极不可分量），接着，他批评了扔掉如前面(3)式中含h的项的做法。他
说：“在数学中，最微小的误差也不能忽略。”然后，对他的流数的含义又做了一番新
的解释，“流数，随我们的意愿，可以任意地接近于在尽可能小的等间隔时段中产生的
流量的增量，精确地说，它们是最初增量的最初的比，……”当然这样含糊不清的措词
无济于事。在计算流数的方法这个问题上，牛顿在第三篇论文中的逻辑如同第一篇论文
中同样的粗糙，他略去了所有高于h的一次幂的那些项，比如说h2，这样就得到了导数。
在他的巨著《自然哲学的数学原理》（1687年，第一版）中，牛顿对流数做了几种陈述
，他舍弃了终级不可分量而用了“消失的可分量”，即能够无穷地缩小的量。在《原理
》的第一版和第三版中，牛顿说：
量在其中消失的终极比，严格说来，不是终极量的比，而且它与无限减少的这些量所趋
近的极限之差虽然能比任何给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前既不能越过也不
能达到这个极限。
虽然这种解释根本说不上明白，但这已是牛顿对他所谓的流数给出的最明白的解释了。
在这里，牛顿触及到了关键的词“极限”(Limit)，但他并没有深究这个概念。
毫无疑问，他意识到了他对流数的解释是不能令人满意的，于是，可能在绝望之中，他
求助于物理意义。在《原理》中他写道：
以下关于没有消失量的终极比的观点值得商榷。因为在量消失以前，比就不是终极的，
而若量消失了，也就无所谓比了。同样以下观点也值得商榷，即当运动停止时，也没有
一个物体到达某一确定位置的终极速度。因为在物体到达某终极位置之前，速度不可能
是终极速度，而若物体到达极限位置，终极速度也就为零了。其实答案很简单。最后速
度的意思是：它既不是在物体到达最后位置，运动停止时之前的速度，也不是到达以后
的速度，而是正到达那一瞬间的速度。即物体以这样的速度到达它的最后位置并且停止
。同样的，就消失量的最后比来记，应理解为不是在量消失以前，也不是在消失以后，
而是正当它们消失时的比。
既然他的数学研究结果实际上都是正确的，牛顿就没在微积分的逻辑基础上花过多的时
间。在《原理》中，他用的是几何方法并且用几何方式给出关于极限的定理。很久以后
，他承认他用了分析的方法来发现《原理》中的定理，但是他还是从几何上来系统地证
明，以使他的观点像古人那样可靠。当然，这些几何证明一点也不严格，牛顿对欧氏几
何充满信心，但没有真实的证据可以显示它能对微积分有所支持。
莱布尼茨研究微积分的方法有所不同，他认为当h、k（他写成dx，dy）减小时，它们成
了“逐渐消失的量”或“无穷小量”。此时，h和k不为零，但比任何给定的数都要小，
因此，h的任意次幂，例如h2，h3肯定可以忽略，而且比值k/h就是我们所要求的量，即
导数，莱布尼茨用dy/dx表示。
莱布尼茨用几何表述h和k的方法是这样的，当P、Q是一条曲线上无限靠近的两点时，dx
是它们的横坐标之差，dy是它们的纵坐标之差（图6.4），而且，T点处的切线就与弧PQ
重合。因此，dy除以dx，就是切线的斜率，三角形PQR称做特征三角形，但这并不是莱布
尼茨首创的。帕斯卡和巴罗很早就用过。莱布尼茨研究过他们的著作，莱布尼茨还认为
三角形PQR与三角形STU相似，而且他用这个事实来证明有关dy/dx的一些结果。莱布尼茨
对积分的概念也做了广泛的研究。他独立地提出了前述(7)式用矩形求和的思想。然而，
从有限多个矩形面积和到无限多个矩形面积和这个过程是含糊不清的，他认为当h“无限
小”时，就得到了无穷和。他把这记作∫dx，并设法算出了类似这样的积分，而且实际
上，独自发现了我们现在所说的微积分基本定理。这个定理表明，可以通过求导数的逆
过程求得这个积分和（求原函数）。经过了大约十二年的努力，他终于在1684年在《教
师学报》上发表了他关于微积分的第一篇论文，他的朋友贝努利兄弟对其作了恰如其分
的评价，说它“与其说是解释，不如说是谜。”
牛顿和莱布尼茨的思想都不够清晰，而且都受到人们的批评。牛顿对于批评无动于衷，
莱布尼茨则不这样，他花了大量篇幅尝试去解释，特别是它关于无穷小量的概念。在168
9年刊于《教师学报》的一篇文章里，他说无穷小量不是真实的数，而是假想的数，但是
，他宣称这些假想的或理想的数服从于通常的规律。在这篇文章中他还分别用几何方法
来证明一个高阶无穷小量，比如说(dx)2，相对于低阶无穷小量，如dx，就像一个点对于
一条线，而dx对x就像一个点对于地球或地球的半径相对于宇宙的半径。他认为两个无穷
小量的比就是一个不确定量的商，但这个比值是可以用有限数表示的，例如，在几何中d
y与dx之比就是纵坐标与次切线之比（如图6.4中TU比SU）。
莱布尼茨工作受到了纽汶提(Bernhard Nieuwentijdt)的批评，莱布尼茨1695年在刊于《
教师学报》的一篇文章中对此予以回击。他谈到“过分苛刻”的批评者，并说过分的审
慎不应使我们抛弃创造的成果。然后，他说他的方法不同于阿基米得方法之处，只在于
所用的表达式，但他自己的方法更好地适用于发明的艺术。“无穷大”和“无穷小”仅
仅表示需要多大就多大和需要多小就多小的量，这是为了证明误差可以小于任何给定的
数，换句话说，就是没有误差。人们能用这种终极的东西——无穷大量和无穷小量——
作为一种工具，正如在代数里用虚根有极大的好处一样（此时我们应该回想一下在莱布
尼茨时代虚数的地位）。
1699年，莱布尼茨在给瓦里斯的一封信中给出了稍微有些不同的解释：
考虑这样一种无穷小量将是有用的，当寻找它们的比时，不把它们当作是零，但是只要
他们和无法相比的大量一起出现，就把它们舍弃。例如，如果我们有x+dx，就把dx舍弃
。但是如果我们求x+dx和x之间的差，情况就不同了。类似的，我们不能把xdx和dxdx并
列，因此如果我们要微分xy，就可以写出(x+dx)(y+dy)-xy=xdy+ydx+dxdy，但这里dxdy
不可比较地小于xdy+ydx。因此，在任何情况下，误差都小于任何有限的量。
到这时为止，莱布尼茨表明他的微积分只用到通常的数学概念，但是由于无法使他的批
评者满意，他提出了一个称为连续性原理的哲学原理。这个原理实际上和开普勒早已阐
述过的几乎一样。在莱布尼茨研究微积分学的早期，1678年3月19日给H·康林(Herman
Conring)的一封信中说，这个原理断言：“如果一个变量一直具有某一性质，则其极限
也具有同一性质。”在1687年给培尔(Pierre Bayle)的一封信中，莱布尼茨更充分地表
述了这个原理：“在任何假定的向任何终点的过渡中，允许制定一个普遍的推论，使最
后的终点也可以包括进去。”然后他运用这个原理为抛物
的假设，允许在一个普遍的道理下，也包括纵坐标x1y2越来越向确定的纵坐标x2y2靠近
并最终与它重合的情形（如图6.5）。很明显，在这种情况下dx成为0并且应该被忽略掉
……”莱布尼茨没有证明当dx为0时，应该给予方程左边的dx和dy什么意义。
当然，他说，绝对相等的东西总有一个绝对是无的差别。
然而，一个过渡的状态或者一个消失的状态是可以设想的，其中实际上仍然没有出现完
全的相等或者静止，……而是进入这样一种状态，即差小于任何给定的量，在这种状态
下，还得留一些差，一些速度，一些角度，但他们每个都是无穷小。……是否这样一个
从不等到相等的瞬时过渡……能够保持在严密的或者形而上学的意义中呢？或者无穷大
的扩展会越来越大，或者无穷小的扩展会越来越小，这是合法的考虑吗？目前，我承认
这可能尚未解决。……
如果当我们说到无穷大（或者更严格些说，无限制的大）或者无穷小量（即在我们的知
识中是最小的）时，就理解为我们意味着无限大的或者无穷小的量，即要多大就多大，
要多小就多小，使得任何人得到的误差可以小于某个指定的量，那就足够了。
在这些假定下，我们在1684年10月的《教师学报》中列出的算法的全部规则，都能够不
太麻烦地予以证明。
然后，莱布尼茨就讨论这些规则，但一点也没使它们更清晰。
他提出的连续性原理的确不是，今天也不是一个数学公理。然而他强调它，并且给出许
多与其相符的论据。例如在一封给瓦里斯的信中，莱布尼茨为他使用一个没有量的形式
的特征三角形，即量缩小为0之后，特征三角形的形式仍然存在作辩护，而且挑战性地反
问道：“谁不承认没有量的形式呢？”类似的，在1713年给格兰迪(Gvido Grandi)的一
封信中，他说，无穷小不是简单的、绝对的零，而是相对的零，即它是一个消失的量，
但仍保持它那正在消失的特征。然而，莱布尼茨在另外的时候又说，他不相信度量中真
正的无穷大或真正的无穷小。
一直到1716年他去世，莱布尼兹一直在解释他那些无穷小量及无穷大量的含义，这些解
释一点不比上面我们已经看过的更好。对他的微积分学，他自己一直没有清晰的明确的
概念或是逻辑的判断力。
牛顿和莱布尼茨的推理竟会如此粗糙，这真令人吃惊。在他们着手研究微积分之前，其
他伟大的数学家早已取得了可观的进展，他们两个人也都研读过前人的著作，事实上，
牛顿的老师巴罗，就用几何方法得出了一些基础性成果。当牛顿说：“如果说我比别人
看得更远些，那只是因为我站在巨人的肩膀上”时，这不只是谦虚而是事实。至于莱布
尼茨，他是最伟大的哲人之一，我们已提起过他在许多领域的贡献（见第三章），他智
慧的深度与广度可与亚里士多德相媲美。当然，微积分涉及到许多新的，微妙的思想，
即使是最富有创造力的头脑也未必能深刻理解他们自己的创造。
由于不能充分弄清楚概念和判别运算的正确与否，二人都依赖方法的多样和结论的彼此
一致而大胆地向前推进，尽管并不严谨。莱布尼茨虽然比牛顿对批评敏感，但却不如牛
顿严谨，莱布尼茨认为对他的做法最终验证取决于其有效性。他强调他所创造出的东西
的程序性或算法上的价值，在某种程度上，他确信只要他能清楚地表述并且恰当地运用
他的运算法则，就可以获得合理的，正确的结果，而不论所涉及的概念的意义是多么模
糊。他就像笛卡尔一样地富有远见卓识，他看到了新思想的深层内涵，毫不迟疑地认为
一门新科学即将诞生。
微积分的基础仍然不清楚，牛顿的支持者继续谈论最初比和终极比，而莱布尼茨的追随
者们则使用无穷小的非零量。由于这些不同方法的存在，更增加了建立合理逻辑基础的
难度。许多英国数学家也许由于主要是仍然为古希腊几何所束缚，更关心微积分的严密
性而不相信这两种方法，其他一些英国数学家选择了牛顿而不是数学做为研究对象，因
此朝着严密化的方向没能有什么进展。这样，17世纪就随着微积分、算术及代数的一片
混乱结束了。
尽管面临众多的反对意见，但是，18世纪伟大的数学家不仅极大地扩展了微积分学而且
从中导出了一些全新的学科：无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法
及复变函数，这些统称为分析的学科，现在是数学的核心部分。甚至连那些怀疑论者和
批评家也在这些扩充中任意地使用各种类型的数和代数。微积分的运算，仿佛在逻辑基
础上不再有任何问题了。
从微积分学到这些新分支的扩展引入了新概念、新方法，使得微积分的严密性问题更加
复杂，对无穷级数的处理也许可以用来解释一下这些新添的麻烦。先让我们看一下无穷
级数给数学家们带来的问题。
在这里，点表示这个式子按已列出的几项的形式无穷延续下去。无T穷级数引入微积分的
原义是用它们代替函数进行运算，比如说求导及求原函数，因为从技术上来说，用级数
中较简单的项更易于进行这些运算。而且函数，例如sinx的级数还被用来计算函数的值
，在所有这些用法中，最重要的是知道级数是否与函数相等。当x被赋予一个值时，函数
也相应地有一个值，关于级数必须提出的第一个问题是：对于一个给定的x值，级数会得
到一个什么值？换句话说，无穷级数的和意味着什么？我们又怎么去求它？第二个问题
是：是否对所有的x值，级数都表示函数或者最少是对于使函数有意义的值？
在他论述微积分的第一篇论文中（1669年），牛顿自以为是地引入无
了二项式定理，得到
y=1-x2+x4-x6+x8-……
然后逐项积分，注意到如果用函数的另一种写法y=1/(x2+1)，则用二项式定理得到
他接着说道，当x足够小时，用第一个展开式；但当x较大时，就用第二个展开式。这样
，他就对我们今天所称的收敛性的重要性有了些许认识，但他对此并没有明确概念。
用牛顿对他使用无穷级数的评价可以说明那个时代的逻辑，在1669年的这篇文章中他写
道：
任何事情，只要是普通分析（代数学）能够通过有限多项的方程去做的（只要能做的话
），也能够通过无限多项的方程（级数）去做，这就使我毫无疑问地把这后一种也称为
分析。因为后一种推理的确定性不少于前一种，后一种方程的精确性也不少于前一种。
不过，我们这些凡人的推理力量，是局限在狭窄的范围内的，所以既不能表达，也无法
去想象方程的一切项，使得能够从中确知所求的量。
这样对牛顿来说，无穷级数只是代数学的一部分，是一种处理无穷多项而不是有限多项
的较高级的代数。
在牛顿、莱布尼茨、贝努利家族、欧拉、达兰贝尔、拉格朗日和其他18世纪的数学家努
力研究无穷级数的古怪问题，并把它用于分析之时，他们酿下了各种大错，做出许多错
误的证明，因而得出许多错误的结论；他们甚至还给出了一些我们现在看来荒唐可笑的
证明，我们可以略举一例以说明他们在处理无穷级数时的迷惑与混乱。
当x=1，表示1/（1+x）的级数(8)
变为
1-1+1-1+1…
这个级数的和是多少？这个问题引起了无休无止的争论。把级数写成如下方式
(1-1)+(1-1)+(1-1)+…
看起来似乎很清楚，和就是零，然而，把级数写成另一种方式
1-(1-1)-(1-1)-…
似乎同样很清楚，和为1。但如果用s代表级数之和，有
s=1-(1-1+1-1+…)
或 s=(1-s)，
因此s=1/2。这最后一个结果也为其他证据所支持。这个级数是公比
格兰迪在他的小册子《圆和双曲线的方程》（1713年）中，用其他的方法得到了第三个
结果。他在方程（8）中令x=1，得到
证明，世界能够从空无一物创造出来。
在1713年的《教师学报》上发表的莱布尼茨写给沃尔夫(Christian Wolf)的一封信中，
他也谈到这个级数，他同意格兰迪的结果，但他认为可以不借助于原来的函数求得这个
结果。他认为，如果取级数的第一项，前两项的和、前三项的和等等，就得到1,0,1,0,1
……可以看出来，1和0有同样的可能性，因此就应该取算术平均值为和，也就是1/2，这
也是最可能的结果，这个证明为贝努利家族及拉格朗日所接受。莱布尼茨承认他的证明
中形而上学的成分多于数学的成分，但他接着说，在数学中，存在我们通常承认的更为
形而上学的真理。
在欧拉1745年的一封信和1754年（或1755年）的一篇论文中，他探讨了级数求和的问题
。一个级数，如果不断增加其项数，它就能越来越逼近一个常数，就说这个级数是收敛
的，这个常数就是它的和。按欧拉所说的，当一个级数的各项递减时它就是收敛的。反
之，若级数的各项不减少，甚至增加，那么它就是发散的。他说，由于这种级数来自于
已知的显函数，我们可以取这个函数的值做为级数的和。
欧拉的理论又导致了新的问题，他处理了下述展开式：
当x=-1时，得到
∞=1+2+3+4+……
时，也就是
让x=2，那么
-1=1+2+4+8+…
由于这个级数右边各项的和应超过上一个级数各项之和，欧拉得出结论：-1比无穷大更
大。欧拉同时代的一些人则认为负数大于无穷大不同于负数小于零，欧拉不同意这点，
并且认为∞正像零一样把正数、负数分隔开来。
欧拉关于收敛与发散的见解并不正确，即使在他所处的年代里，从他所讲的意义上说，
逐项递减的级数也没有和，而且他自己也用不是从显函数导出的级数进行研究。因此，
他的“理论”是不完善的。此外，尼古拉·贝努利(Nicholas Bernoulli)在1743年给欧
拉的一封信中，他一定向欧拉指出了同样的级数可以从不同的展开式中得到，因此按欧
拉的定义，必须给这个级数不同的值。但是欧拉在回复哥德巴赫(Christian Goldbach)
的一封信中说尼古拉·贝努利没有给出一个例子来，他自己也不相信同一级数会出自两
个确实不同的代数式。然而卡莱(Jean-CharlesCallet)真的给出了一个这样的例子，拉
格朗日试图去证明对它应当不予理睬，但后来人们看出这个证明是错误的。
再加上其他一些原因，欧拉对无穷级数的处理是不合适的。级数可以被微分或积分，它
的微分和积分又导致函数的微分或积分，这样做的正确性必须加以证明。然而，欧拉宣
称“无论如何，一个无穷级数可作为某些有尽的表达（函数的公式）的展开而得到，在
数学运算中它可以用作与那些表达式等价的东西，甚至对那些使级数发散的变量也是如
此。”因此，他说，我们能够保留发散级数的功用，并且保护其免受指责。
其他18世纪的数学家们也意识到必须区分我们今天所称的收敛级数与发散级数的特征，
尽管他们对这种特征是什么一无所知。困难当然是在于他们研究的是一个新概念，像所
有先驱者一样，他们必须在丛林中披荆斩棘。当然，为莱布尼茨、欧拉和拉格朗日所接
受的牛顿的最初的想法，即级数只不过是长的多项式，因此应归到代数学范围内，是不
能用来严格地讨论级数的。
在18世纪无穷级数方面的工作中，形式的观点占据统治地位。在他们的运算中，数学家
们a甚至憎恨任何限制，例如必须考虑收敛性。他们的工作产生了许多有用的结果而且他
们也就满足于得到实用的支持，他们确已超越了他们所能给出正确理由的界限，但他们
在运用发散级数时，总的来说，还是谨慎的。
虽然数系和代数学的逻辑处境并不比微积分的更好，数学家们还是聚焦于微积分并试图
巩固其松散的逻辑基础。造成这种情况的原因无疑是到1700年时，各种类型的数看起来
都很接近，也显得更自然一些了。然而微积分的概念，仍是陌生、神秘的，似乎难以接
受。再说，在数的使用中没有什么矛盾，而在微积分及其扩展无穷级数与其他分支中，
确实产生了矛盾。
虽然莱布尼茨研究微积分的方法更流畅也更便于使用，但就严格性来说，牛顿的方法实
际上可能更容易些。英国人还认为可以将这两种方法与欧氏几何联系起来，从而保证其
严密性，但他们混淆了牛顿的瞬间（moment，不可分割的增量）与他的连续变量的应用
。大陆上的数学家们则追随莱布尼茨，并且力图把他的微分概念严密化。解释和评价牛
顿与莱布尼茨的方法的书卷帙浩繁且谬误连篇，甚至经不起推敲。
数学家们尽管做出了种种努力来使微积分严密化，一些思想家还是抨击其合理性，尤以
哲学家贝克莱为最。他害怕数学激发的机械论和决定论哲学信仰对宗教造成日益增大的
威胁。1734年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家①，其中审查现代分析
对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书
。“先除掉你自己眼睛里的障碍，你才能看得清去擦掉你兄弟眼中的灰尘”。贝克莱抱
怨数学家们的推理晦涩难懂、玄奥莫测，他们对自己的每一步既没有给出逻辑，也没有
说明理由。贝克莱批评了牛顿很多的观点，他特别指出牛顿在他的论文《求曲边形的面
积》中（用x作为我们用h表示的增量）进行了一些代数运算，然后又忽略了含h的项，因
为h现在是零了（比较(4)式）。贝克莱说，这是对矛盾律②的蔑视，神学中不允许这样
的推理。他说，一阶流数（一阶导数）似乎超出了人们的理解能力，因为它们超出了有
限的范围。
如果一阶流数尚且不可理解，那么二阶、三阶或更高阶呢？那能够构想出开端的开端，
抑或末尾的末尾的人……或许其睿智的大脑足以构想这一切，但依我看，绝大部分的人
会发现，想在任何意义上理解它们都是不可能的……我想，那些能消化得了二阶流数或
三阶流数的人，是不会吞食了神学观点就要呕吐的。
谈到关于h和k的消失，贝克莱说：“在我们假设增量消失时，理所当然，也得假设它的
大小、表达式以及其他，由于它的存在而随之而来的一切也随之而消失。”至于被牛顿
用瞬时量h和k的比弄得更复杂的导数，“它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不
是无。我们只能称其为消失了的量的鬼魂”。
同样的，贝克莱也批评莱布尼茨的方法。在他早期的著作《人类知识原理》（1710年出
版，1734年修订版）中，他这样攻击莱布尼茨的概念：
有一些著名人物，不满足于知晓一条有限直线可以分成无穷多个部分，还进一步认为每
一个这样的无穷小量又可分成无穷多个部分，即二阶无穷小量((dx)2)等，他们总说有无
穷小的无穷小的无穷小，没完没了，而另一些人则掌握了低于一阶的无穷小到空无一物
。
他继续在《分析学者》里攻击莱布尼茨：
莱布尼茨及其追随者，在进行微分运算时，竟从不脸红地首先承认，然后又舍弃无穷小
量。稍具思考能力的人，在理解时仔细些，在推理时公平些，就不会接受这样的估计。
贝克莱认为，从几何上来看，微分之比应该确定割线的斜率，而不是切线的斜率，忽略
了高阶无穷小才消除了误差，因此，“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结
果”，这是因为错误互相抵消的缘故。他还挑中二阶微分，即莱布尼茨的d(dx)作文章，
因为d(dx)是dx的微分，而dx本身是一个很难识别的量。
关于牛顿和莱布尼茨的方法，贝克莱反问道：“难道我们这个时期的数学家也像科学家
一样了吗？只花大气力去应用自己的理论却不设法理解它们。”“在每一门其他科学中
，人们用他们的原理证明他们的结论，而不是用结论来证明他们的原理”。
贝克莱用一连串的质问结束了《分析学者》一书，谨摘录若干如下：
那些对宗教如此敏感的数学家们会严谨认真地对待自己的科学吗？他们会不屈从于权威
、不盲目轻信和相信那些不可思议的观点吗？他们就没有属于自己的秘密，甚至抵触和
矛盾吗？
许多数学家回击了贝克莱的批评，但没人能成功地使微积分严密化。在这方面，欧拉做
出了重大的努力。欧拉拒绝把几何作为微积分的基础，他试图纯粹形式地研究函数，即
从它们的代数（分析）表达式来论证。他否定了莱布尼茨的无穷小概念，即所谓不等于
零却小于任意一个给定值的数。在欧拉的《微分学原理》，1755年出版的一部18世纪的
微分学经典著作中，他论证道：
无疑，任何一个量可减小到完全消失的程度。但是，一个无穷小量无非是一个正在消失
的量，因为它本身就等于0，这与无穷小量的定义也是协调的，按照无穷小的定义，它应
小于任一指定的量，它无疑应当就是无，因为除非它等于0，否则总能给它指定一个和它
相等的量，而这是与假设矛盾的。
既然无穷小dx（用莱布尼茨的记号）等于零了，那么(dx)2，(dx)3肯定也为零，因为按
惯例，这些量被称为dx的高阶无穷小。于是，对莱布尼茨来说，他的无穷小之比dy/dx，
在欧拉眼里即为0/0，但0/0是多值的。欧拉的理由是任何数乘以零还得零，若用零作被
除数，有0/0=n。对
y=x2为例，给x一个增量h（他用ω），此时，h不为0（比较前述(1)至(4)），得到
k/h=2x+h
此时，莱布尼茨允许h为无穷小，但不为0，而欧拉说h就是0，所以在
欧拉强调说，这些微分，即h和k的最终值，是绝对的0，因为他只知道它们相互的比值最
终化为一个有限值，此外推不出任何其他东西。在《原理》第三章中，欧拉更多地谈到
这个性质，他在那儿鼓励读者说，导数并不像通常认为的那样隐藏着极大的神秘性，而
那种神秘性使许多人心目中怀疑微积分。当然，欧拉求导数的方法的正确程度并不比牛
顿和莱布尼茨更高。
欧拉在他那形式的并非正确的对微积分的探讨中所做的贡献是将其从几何学中解放出来
，并将其建立在算术和代数的基础上。这至少为最终将微积分的合理性建立在数的基础
上开辟了道路。
18世纪后期，对建立微积分基础最雄心勃勃的尝试来自拉格朗日。像贝克莱及其他人一
样，他认为微积分是由于相互抵偿才得到正确结果。在他的《解析函数论》（1797年初
版，1813年再版）中，他完成了他的重建工作。这本书的副标题是：“包含着微积分的
主要定理，不用无穷小或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为有限量的代数
分析艺术”（着重号为拉格朗日所加）。
拉格朗日批评牛顿的方法时指出：关于弦与弧的极限比，牛顿认为弦与弧不是在它们消
失前或消失后相等，而是当它们消失时相等。拉格朗日正确地说明：
此方法有很大不便，即它把所考虑的量不再是量的状态下，仍看作是量。因为对两个量
，只要它们还保持有限，就总可以适当地构想出它们的比，可一旦它们都变为无，这个
比在我们脑海里就不再提供任何清晰而明确的想法了。
他同样地不满意莱布尼茨的无穷小量和欧拉的绝对零，这两者“虽然在实践中是正确的
，但作为一门科学的基础仍不够清晰，因为科学的确定性应基于自身的证据”。
拉格朗日想给微积分提供类似于古人论证那样的全部严密性，并且他提出要把微积分归
结为代数来做到这一点。特别是，拉格朗日提出用无穷级数（级数被认为是代数的一部
分，但其逻辑比微积分的逻辑更为混乱）来严格地奠定微积分的基础。然后他“谦虚”
地说，他的那种方法竟没有被牛顿想到，实在不可思议。
我们无需去追究拉格朗日所搞的微积分基础的细节，除了完全不合理地使用无穷级数外
，他只做了一大堆代数推导，而这些，更不利于让读者明白合理的导数定义有多么缺乏
。实际上，他所做的与他的前辈一样的粗糙，拉格朗日确信他已省却极限概念且已将微
积分建立在代数之上。尽管他存在错误，其基础仍被他的许多杰出继承者所接受。
在写于1797—1800年的一部很有影响的三卷本著作《微积分学教程》中，拉格朗日的追
随者拉克鲁瓦（Sylvestre-FrancoisLacroix）确信微积分仅仅只是代数的扩充。在《教
程》的一卷本（1802年）中，拉克鲁瓦用到了极限理论（从这点上看，这个理论那时已
被理解），但他说只是为了节省篇幅。
19世纪初的一些英国数学家决心接受先进的大陆的分析工作。巴贝奇(Charles
Babbage)、赫歇耳(John Herschel)和皮科克(George Peacock)，他们作为剑桥的毕业生
成立了分析学会，翻译了拉克鲁瓦的《教程》一卷本，并在前言中写到：
现在我们将拉克鲁瓦著作的译本献给公众，可以视其为他在微积分学方面伟大工作的缩
略，虽然在基本原理的证明中，达兰贝尔的极限理论替代了拉格朗日极其正确的自然的
方法，但后者在这本书的三卷本中被采用了……
皮科克声称极限理论令人难以接受，因为它把微分的原理与代数分隔开来，赫歇耳和巴
贝奇也同意这种观点。
在18世纪后期，数学界很清楚微积分急需合适的基础。在拉格朗日的提议下，柏林科学
院数学分部（1766—1787年拉格朗日任主任）于1784年设立，并于1786年颁发一个奖项
，以奖励对数学中的无穷问题的最佳解答。这个竞赛的宣言如下：
数学的功用，它所受到的尊敬，“精确科学”这一极为贴切的桂冠，源于其原理的清晰
、证明的严密及定理的精确。
为了确保知识体系中这一精致部分这些富有价值的优势，需要对其所谓极限问题有一个
清晰、精确的理论。
众所周知，高等几何（数学）经常使用无穷大和无穷小，然而，古代的几何学家甚至分
析学者煞费苦心地去避开导致无穷的任何事物，一些当代著名分析学者则承认无穷量的
术语是矛盾的。因此，科学院期望一个解释来说明为什么从一个矛盾的假设却推出了那
么多正确的理论，还希望有一个确切、清晰的描述，简而言之，一个真正的数学原理。
它也许可以完全代替无穷，却又不致使按其方法进行的研究过分困难或过分冗长，这就
须要处理这个课题时有尽可能的普遍性，尽可能的严密、清晰和简洁。
这次竞赛面向除科学院的正式成员以外的所有人，总共有23篇应征论文，竞赛的正式结
果如下：
科学院收到了许多关于这个课题的论文，它们的作者都忽略了解释为什么从一个矛盾的
假设，比如无穷大量，推出那么多正确的结论。他们都或多或少地忽略了对清晰性、简
洁性的要求，还有竞赛所要求的严密性。多数论文甚至没有看出来所寻求的原理不应局
限于微积分，而应扩展到用古代的方法研究的代数和几何中去。
科学院认为我们的问题没有得到满意的答复。
然而，我们也发现最接近目标的参赛者是一篇法语论文的作者，他题写的格言是“无穷
，是吞没我们思想的深渊”。因此，科学院投票决定他得奖。
获奖者是瑞士数学家惠利尔(Simon L'Huillier)，同年，即1786年，柏林科学院公布了
他的论文《高等微积分的基本评注》。无疑，柏林科学院数学部的判断本质上是正确的
，其他论文（除了卡诺的一篇，见第七章）甚至根本就没有尝试去解释为什么从错误的
假设出发而建立的无穷小分析的理论是正确的。惠利尔的论文肯定是出类拔萃的，尽管
其基本思想毫无新意而言。惠利尔说，他的文章表述了达兰贝尔仅仅构想出一个轮廓的
思想（发表于《百科全书》及《杂集》的一篇文章《微分》）的发展。在《评注》开头
的一章中，惠利尔一定程度上改进了极限的理论。他第一次在印刷品上引入Lim作为极限
的符号。这样，他把导数dp/ dx记作Lim△p/△x（我们的k/h），但他对极限理论的贡献
是微乎其微的。
尽管几乎18世纪的每位数学家都在微积分的逻辑上做了努力，或至少表示了他们的看法
，其中也有一、两个走对了路的，但他们所有的努力都是没有多大用处的。任何棘手的
问题都被有意避开或是漠然视之，人们很难区别很大的数与无穷数，看起来似乎很清楚
适用于任何有限数n的理论，当n无穷时也一定适用。同样，差商k/h（见(3)式）被导数
所代替，有限项的和（见(7)式）与积分也很难区分。数学家们在有限与无限之间随意通
行，他们的工作可以用伏尔泰对微积分的描述来概括，他称微积分为“计算与度量一个
其存在性是不可思议的事物的艺术。”一个世纪来，尤其是欧拉、拉格朗日这样的大师
使微积分严密化的努力的最终结果，误导了他们的同代人以及后来者，并且搞混了他们
的思想。总的来说，他们那么明目张胆地犯错，以致于人们对数学家能否弄清他们所涉
及到的逻辑感到绝望。
数学家们相信符号远胜于相信逻辑，因为无穷级数对于所有的x值有相同的符号形式，使
得级数发散或收敛的x值之间的不同看起来并不须要加以注意，而且即使人们承认有些级
数，比如说1+2+3+…，和为无穷，数学家们倾向赋予这个和以意义，而不去怀疑其可适
用性。当然，他们完全清楚对某些证明的需要。我们已经看到了欧拉的确曾力图证明他
使用无穷级数的正确性，而且他和拉格朗日还有其他一些人还尝试建立微积分的基础。
但这些求得严密性——其标准随时间而变——的少许努力并没有在这个世纪成功，人们
也几乎情愿选择这样一种得过且过的处世哲学。
18世纪的思想家们所采用的论据的一个奇怪的特点是它们求助于形而上学，人们用它来
暗示数学领域之外还存在一个真理体系，如果需要的话，可以用它来检验他们的工作。
虽说它究竟是什么还不清楚，但应用形而上学意在给那些不为推理所支持的论点增强可
信度。因此，莱布尼茨宣称形而上学的用处比我们认识到的要多。他把1/2作为级数1-1+
1-……的和的证明和他提出的连续性原理，都只不过重申了上述观点。它们被“证明”
是形而上学的，仿佛这样就不容置疑了。欧拉也求助于它，认为在分析中也必须默认它
，当17、18世纪的数学家们不能为一个观点提供更好的证明时，他们就惯于说这其中的
理由是形而上学的。
因此，在18世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础上的分析的其他分支的逻辑处于
一种完全混乱的状态之中，事实上，可以说微积分基础方面的状况，在1800年比1700年
更差。数学巨匠，尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础。因为他们是权威，
他们的许多同事接受了并不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们所给出的基础上
进一步发展。其他稍逊一筹的数学家则对此颇有微辞，但他们充满信心地认为只须稍加
澄清或小修小补就可以得到一个完全清晰明确的基础。当然，他们被引上了一条错误的
路。
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① 1米=3.2808英尺——译注
① “不信教的数学家”指哈雷。据传，当时贝克莱的朋友病危但拒绝祈祷，说不信教的
哈雷使他很难相信宗教教义。——译注
② 矛盾律是一条逻辑原理：一事物不能同时既属于又不属于一特定的类（如既是桌子又
不是桌子），或者既处于又不处于一特定状态（如既是红的又不是红的）。——译注