[数学学习笔记]函数的连续性

连续性的概念

第一类定义:设函数y = f(x)在x_{0}的某邻域内有定义,并且\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0),则称函数f(x)在x_{0}连续.并称x_{0}为f(x)的连续点。

第二类定义:\Delta x:x方向上的增量;\Delta y:y方向上的增量。

\Delta x的正负表明增量方向。

\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0+\Delta x) = f(x_0)或者\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y = 0则称函数f(x)在x_{0}连续.并称x_{0}为f(x)的连续点。

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x) = f(x_0),则称函数f(x)在x_{0}左连续;

\lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0),则称函数f(x)在x_{0}右连续;

 

定理2.5.1:函数f(x)在x_{0}处连续的必要条件是:\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0) \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0^+}f(x) = \lim_{x\to x_0^-}f(x) = f(x_0)

[数学学习笔记]函数的连续性_第1张图片

函数的间断点:

根据连续的定义,函数f(x)在x_0连续,需要同时满足3个条件:

(1)函数f(x)在x_0处有定义;

(2)函数f(x)在x_0有极限;

(3)函数y = f(x)在x_0处的极限为f(x_0).

如果函数f(x)不满足上述三个条件,则称f(x)在x_0处不连续;x_0称为f(x)的不连续点或者间断点。

类型:

几种常见类型。

可去间断点:函数在该点左极限、右极限存在且相等,但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=\frac{(x^2-1)}{x-1}在点x=1处。

跳跃间断点:函数在该点左极限、右极限存在,但不相等。如函数y=\frac{|x|}{x}在点x=0处。

无穷间断点:函数在该点可以无定义,且左极限、右极限至少有一个不存在,且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

振荡间断点:函数在该点可以无定义,当自变量趋于该点时,函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。

 

可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点,也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点

由上述对各种间断点的描述可知,函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在,而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在,这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。

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