[数学学习笔记]函数的连续性

连续性的概念

第一类定义：设函数y = f(x)在的某邻域内有定义，并且,则称函数f(x)在连续.并称为f(x)的连续点。

第二类定义：:x方向上的增量；:y方向上的增量。

的正负表明增量方向。

或者则称函数f(x)在连续.并称为f(x)的连续点。

 

若，则称函数f(x)在左连续；

若，则称函数f(x)在右连续；

 

定理2.5.1：函数f(x)在处连续的必要条件是：

函数的间断点：

根据连续的定义，函数f(x)在连续，需要同时满足3个条件：

（1）函数f(x)在处有定义；

（2）函数f(x)在有极限；

（3）函数y = f(x)在处的极限为f().

如果函数f(x)不满足上述三个条件，则称f(x)在处不连续；称为f(x)的不连续点或者间断点。

类型：

几种常见类型。

可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数在点x=1处。

跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数在点x=0处。

无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。

 

可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。

由上述对各种间断点的描述可知，函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。