求解同余方程

前置知识

$a,b$对$m$取模的结果相同，记为$a\equiv b(modm)$，即$amodm==bmodm$

如果$a\equiv b(modm)$，且$c\equiv d(modm)$，则

• $a+b\equiv c+d(modm)$
• $a\times b\equiv c\times d(modm)$

同余方程

设有同余方程$ax\equiv b(modn)$对于未知数$x$有解，当且仅当$b$是$gcd(a,n)$的倍数。且方程有解时，方程有$gcd(a,n)$个解

求解方程$ax\equiv b(modn)$相当于求解方程$ax+ny=b$（$x,y$为整数）

对于上面的式子证明如下：

由$ax\equiv b(modn)$得
$$\begin{gathered} ax=n{y}_1+p \\ b=n{y}_2+p \end{gathered}$$
用中文解释就是，$ax$等于$y_1$倍的$n$加上余数$p$；而$b$等于$y_2$倍的$n$加上余数$p$

两式相减得$ax+ny=b$，证毕

所以求解同余方程$ax\equiv b(modn)$就转化为了求解裴蜀方程$ax+ny=b$，并且$(x,y)$有整数解当且仅当$b$为$gcd(a,n)$的倍数

例题POJ1061 青蛙的约会